Fiche de révision : Théorie de la demande microéconomique

📋 Plan du Cours

1. Substitution sous contrainte d’égalité
2. Méthode de Lagrange
3. Multiplicateurs et conditions suffisantes
4. Contraintes d’inégalité et KKT
5. Problèmes primal et dual
6. Biens et fonctions de demande
7. Identités de Roy et Slutsky

📖 1. Substitution sous contrainte d’égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de substitution : La méthode de substitution transforme un problème d’optimisation sous contrainte d’égalité en problème sans contrainte en résolvant la contrainte sous la forme y = h(x), puis en maximisant φ(x) = f(x,h(x)).

★ À maîtriser

• Pour maximiser U(x,y)=xy sous la contrainte budgétaire 2x+y=4, la substitution donne f(x)=x(4−2x), dont le maximum est atteint pour x*=1 et y*=2.

Compléments

📌 L’hypothèse de dépense totale du budget est naturelle lorsque l’utilité est strictement croissante dans les deux biens.

💡 Astuce mémo

Contrainte → substitution → optimisation libre

📖 2. Méthode de Lagrange

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de Lagrange : La méthode de Lagrange transforme l’optimisation de f sous g=0 en la recherche d’un point stationnaire du lagrangien L=f+λg.

★ À maîtriser

📌 Au point optimal soumis à une contrainte régulière, les gradients de f et de g sont colinéaires, ce qui s’écrit ∇f+λ∇g=0.

📐 Formule - Pour une contrainte g(x,y)=0, les conditions du premier ordre sont $\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x}=0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda\frac{\partial g}{\partial y}=0$, avec g(x,y)=0.

Compléments

📐 Formule - Avec n variables et m contraintes d’égalité, le lagrangien possède n+m variables : $L(x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots,\lambda_m)=f(x_1,\ldots,x_n)+\sum_{j=1}^{m}\lambda_jg_j(x_1,\ldots,x_n).$

💡 Astuce mémo

Deux courbes tangentes, avec des gradients perpendiculaires aux courbes

📖 3. Multiplicateurs et conditions suffisantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Prix fictif : Le multiplicateur de Lagrange λ est le bénéfice marginal d’un relâchement de la contrainte et est appelé prix fictif ou shadow price.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si V(m) est la valeur maximale lorsque la contrainte dépend du budget m, alors $V'(m)=\lambda.$

📌 Si f est concave et que les contraintes gi sont linéaires, les points stationnaires du lagrangien sont des solutions du problème contraint.

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction de deux variables dont la matrice hessienne est H=((r,s),(s,t)), la convexité est assurée si $rt-s^2\ge 0$ et $r+t\ge 0$.

💡 Astuce mémo

Contrainte relâchée → valeur marginale λ

📖 4. Contraintes d’inégalité et KKT

🔑 Notions clés & Définitions

• Conditions KKT : Pour maximiser f sous une contrainte g(x)≥0, les conditions KKT sont ∇f+λ∇g=0, g(x)≥0, λ≥0 et λg(x)=0.
• Complémentarité : La complémentarité signifie que, pour chaque contrainte, λg(x)=0 : soit la contrainte est liante avec g(x)=0, soit elle ne l’est pas et λ=0.

★ À maîtriser

📌 Si f est concave et les fonctions gi sont linéaires, les conditions KKT sont à la fois nécessaires et suffisantes.

Compléments

• Dans la maximisation de 1−x² sous x≤c, la solution est x*=0 si c≥0 et x*=c si c≤0.

💡 Astuce mémo

Contrainte non liante : λ = 0 ; contrainte liante : g = 0

📖 5. Problèmes primal et dual

🔑 Notions clés & Définitions

• Demande marshallienne : La demande marshallienne xi*(p1,…,pn,M) est la solution du problème primal de maximisation de l’utilité avec les prix et le revenu M.
• Demande hicksienne : La demande hicksienne hi*(p1,…,pn,u) est la solution du problème dual de minimisation de la dépense pour atteindre l’utilité u.
• Fonction de dépense : La fonction de dépense est $e(p,u)=p_1h_1^*+\cdots+p_nh_n^*$ et représente la dépense minimale nécessaire pour atteindre u.

📝 Points essentiels

📌 Le problème primal maximise l’utilité sous la contrainte budgétaire, tandis que le problème dual minimise la dépense nécessaire pour atteindre un niveau d’utilité donné.

📌 Le lemme de Shephard affirme que la demande hicksienne vérifie $h_i^*(p,u)=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}.$

💡 Astuce mémo

Primal : maximiser l’utilité ; dual : minimiser la dépense

📖 6. Biens et fonctions de demande

🔑 Notions clés & Définitions

• Bien inférieur : Un bien inférieur vérifie $\frac{\partial x_i^*}{\partial M}<0$.
• Bien normal : Un bien normal vérifie $\frac{\partial x_i^*}{\partial M}>0$.
• Bien de Giffen : Un bien de Giffen vérifie $\frac{\partial x_i^*}{\partial p_i}>0$.

📝 Points essentiels

📌 Deux biens sont substituables si leurs demandes croisées vérifient $\frac{\partial x_i^*}{\partial p_j}>0$ et $\frac{\partial x_j^*}{\partial p_i}>0$, tandis qu’ils sont complémentaires si ces deux dérivées sont négatives.

📖 7. Identités de Roy et Slutsky

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet de substitution : L’effet de substitution mesure la variation de consommation après un changement de prix lorsque le revenu est compensé afin de maintenir le même niveau d’utilité.
• Effet de revenu : L’effet de revenu est la variation de consommation due à la perte globale de pouvoir d’achat provoquée par une hausse de prix.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’identité de Roy relie la demande marshallienne à la fonction de valeur : $x_i(p,M)=-\frac{\partial V(p,M)/\partial p_i}{\partial V(p,M)/\partial M}.$

📐 Formule - L’équation de Slutsky décompose l’effet d’un prix sur la demande : $\frac{\partial x_i(p,M)}{\partial p_j}=\frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_j}-x_j(p,M)\frac{\partial x_i(p,M)}{\partial M}.$

💡 Astuce mémo

Variation du prix → effet de substitution + effet de revenu

📊 Tableaux de synthèse

Demandes marshallienne et hicksienne