QCM : Théorie de la demande microéconomique (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation caractérise la méthode de substitution pour une optimisation sous contrainte d’égalité ?

Remplacer une contrainte d’inégalité par une égalité avant de calculer les dérivées
Résoudre la contrainte sous la forme y=h(x)y=h(x), puis optimiser ϕ(x)=f(x,h(x))\phi(x)=f(x,h(x))
Calculer la hessienne de la fonction objective, puis supprimer toutes les variables dépendantes
Introduire un multiplicateur, puis optimiser le lagrangien sans utiliser la contrainte

Résoudre la contrainte sous la forme $$y=h(x)$$, puis optimiser $$\phi(x)=f(x,h(x))$$

Explication

La substitution consiste à résoudre la contrainte d’égalité pour une variable, puis à maximiser la fonction obtenue après remplacement. La méthode des multiplicateurs de Lagrange, et non la substitution, introduit un multiplicateur dans un lagrangien.

2. Pour maximiser U(x,y)=xyU(x,y)=xy sous la contrainte budgétaire 2x+y=42x+y=4, quelle combinaison constitue le maximum obtenu par substitution ?

x∗=12x^*=\frac{1}{2} et y∗=3y^*=3
x∗=0x^*=0 et y∗=4y^*=4
x∗=1x^*=1 et y∗=2y^*=2
x∗=2x^*=2 et y∗=0y^*=0

$$x^*=1$$ et $$y^*=2$$

Explication

La contrainte donne y=4−2xy=4-2x, donc l’objectif devient f(x)=x(4−2x)f(x)=x(4-2x), maximisé pour x∗=1x^*=1 et y∗=2y^*=2. Le choix x∗=2,y∗=0x^*=2,y^*=0 respecte aussi le budget, mais son utilité est nulle.

3. Que cherche-t-on en appliquant la méthode de Lagrange à l’optimisation de ff sous la contrainte g=0g=0 ?

Un point stationnaire du lagrangien L=f+λgL=f+\lambda g
Un point où la fonction objective possède nécessairement une dérivée seconde positive
Une solution explicite de la contrainte indépendante de la fonction objective
Une valeur du multiplicateur obtenue avant de définir la fonction objective

Un point stationnaire du lagrangien $$L=f+\lambda g$$

Explication

La méthode remplace le problème contraint par la recherche d’un point stationnaire du lagrangien L=f+λgL=f+\lambda g. Résoudre la contrainte seule ne tient pas compte de l’objectif, tandis qu’une dérivée seconde positive n’est pas la définition de la méthode.

4. À un optimum soumis à une contrainte régulière, quelle relation géométrique relie les gradients de la fonction objective et de la contrainte ?

Les gradients sont colinéaires et vérifient ∇f+λ∇g=0\nabla f+\lambda\nabla g=0
Le gradient de la fonction objective est nul, tandis que celui de la contrainte reste quelconque
Les deux gradients sont tangents à la courbe de niveau de la contrainte
Les gradients sont perpendiculaires et vérifient ∇f⋅∇g=0\nabla f\cdot\nabla g=0

Les gradients sont colinéaires et vérifient $$\nabla f+\lambda\nabla g=0$$

Explication

À l’optimum contraint, les gradients sont colinéaires, ce qui s’écrit ∇f+λ∇g=0\nabla f+\lambda\nabla g=0. La perpendicularité concerne chaque gradient par rapport à sa propre courbe de niveau, et non les deux gradients entre eux.

5. Pour une contrainte g(x,y)=0g(x,y)=0, quelles équations constituent les conditions du premier ordre de Lagrange ?

∂f∂x=0\frac{\partial f}{\partial x}=0, ∂f∂y=0\frac{\partial f}{\partial y}=0 et g(x,y)=1g(x,y)=1
∂f∂x+λ∂g∂x=0\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x}=0, ∂f∂y+λ∂g∂y=0\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda\frac{\partial g}{\partial y}=0 et g(x,y)=0g(x,y)=0
∂g∂x=0\frac{\partial g}{\partial x}=0, ∂g∂y=0\frac{\partial g}{\partial y}=0 et f(x,y)=0f(x,y)=0
∂f∂x+∂g∂x=0\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x}=0, ∂f∂y+∂g∂y=0\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial y}=0 et λ=0\lambda=0

$$\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x}=0$$, $$\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda\frac{\partial g}{\partial y}=0$$ et $$g(x,y)=0$$

Explication

Les conditions du premier ordre annulent les dérivées du lagrangien par rapport à xx et yy, tout en imposant la contrainte g(x,y)=0g(x,y)=0. Les autres ensembles omettent le multiplicateur, modifient la contrainte ou imposent à tort une valeur nulle à celui-ci.

6. Comment interpréter économiquement le multiplicateur de Lagrange associé à une contrainte ?

Comme la pente de la courbe de niveau de l’objectif au point non contraint
Comme le niveau maximal de l’objectif obtenu lorsque la contrainte reste inchangée
Comme la quantité marginale de ressources consommée par chaque variable de choix
Comme le bénéfice marginal d’un relâchement de la contrainte, appelé prix fictif

Comme le bénéfice marginal d’un relâchement de la contrainte, appelé prix fictif

Explication

Le multiplicateur mesure le bénéfice marginal associé à un relâchement de la contrainte et est appelé prix fictif ou prix d’ombre. Le niveau maximal de l’objectif correspond plutôt à la valeur de la fonction valeur, pas au multiplicateur.

7. Si V(m)V(m) désigne la valeur maximale obtenue lorsque le budget est mm, que mesure V′(m)V'(m) ?

L’effet marginal d’une variation du budget sur la valeur maximale, égal à λ\lambda
La variation marginale d’une variable de choix lorsque le budget reste fixé
Le niveau maximal atteint pour le budget mm, égal à V(m)V(m)
La dérivée de la contrainte par rapport à une variable de décision, indépendante du budget

L’effet marginal d’une variation du budget sur la valeur maximale, égal à $$\lambda$$

Explication

Le résultat V′(m)=λV'(m)=\lambda indique que la dérivée de la fonction valeur mesure l’effet marginal du budget et coïncide avec le multiplicateur. La quantité V(m)V(m) elle-même représente le niveau maximal obtenu, et non son effet marginal.

8. Dans quel cas les points stationnaires du lagrangien constituent-ils des solutions du problème contraint ?

Lorsque le lagrangien est stationnaire, sans hypothèse sur la concavité ni les contraintes
Lorsque la fonction objective est convexe et que les contraintes sont non linéaires
Lorsque la fonction objective est concave et que les contraintes sont linéaires
Lorsque la fonction objective est quelconque et que les contraintes sont linéaires

Lorsque la fonction objective est concave et que les contraintes sont linéaires

Explication

La concavité de l’objectif et la linéarité des contraintes fournissent une condition suffisante pour qu’un point stationnaire soit une solution du problème contraint. La stationnarité seule donne généralement une condition nécessaire, mais ne garantit pas l’optimalité.

9. Dans un problème de maximisation de ff sous la contrainte g(x)≥0g(x)\ge 0, quelle condition de signe doit respecter le multiplicateur de Lagrange associé ?

Il doit vérifier λ=0\lambda=0.
Il peut prendre toute valeur réelle.
Il doit vérifier λ≥0\lambda\ge 0.
Il doit vérifier λ≤0\lambda\le 0.

Il doit vérifier $$\lambda\ge 0$$.

Explication

Pour une contrainte d’inégalité écrite sous la forme g(x)≥0g(x)\ge 0 dans ce problème de maximisation, les conditions KKT imposent λ≥0\lambda\ge 0. Un multiplicateur associé à une contrainte d’égalité n’est pas soumis à cette restriction de signe, mais cette comparaison ne s’applique pas ici.

10. Que signifie la condition de complémentarité pour une contrainte g(x)≥0g(x)\ge 0 et son multiplicateur λ\lambda ?

La contrainte est liante ou bien son multiplicateur est nul.
La contrainte et le multiplicateur doivent être simultanément non nuls.
Le multiplicateur est positif lorsque la contrainte est strictement satisfaite.
La contrainte est toujours liante lorsque le multiplicateur est positif.

La contrainte est liante ou bien son multiplicateur est nul.

Explication

La complémentarité s’écrit λg(x)=0\lambda g(x)=0 : si la contrainte est liante, alors g(x)=0g(x)=0, et si elle ne l’est pas, alors λ=0\lambda=0. Un multiplicateur positif est compatible avec une contrainte liante, mais pas avec une contrainte strictement satisfaite.

11. Pour maximiser 1−x21-x^2 sous la contrainte x≤cx\le c, quelle solution obtient-on lorsque c<0c<0 ?

La solution est x∗=1x^*=1, indépendante de la contrainte.
La solution est x∗=−cx^*=-c, située sur la frontière.
La solution est x∗=cx^*=c, située sur la frontière.
La solution est x∗=0x^*=0, située à l’intérieur.

La solution est $$x^*=c$$, située sur la frontière.

Explication

Le maximum sans contrainte de 1−x21-x^2 est atteint en x=0x=0, mais ce point n’est pas admissible lorsque c<0c<0. La meilleure valeur admissible est alors la frontière x∗=cx^*=c, tandis que x∗=0x^*=0 correspond au cas où c≥0c\ge 0.

12. Quelle distinction caractérise correctement les problèmes primal et dual en théorie du consommateur ?

Le primal maximise l’utilité à revenu fixé, tandis que le dual minimise la dépense à utilité fixée.
Le primal maximise la dépense à revenu fixé, tandis que le dual minimise l’utilité à prix fixés.
Le primal fixe l’utilité et le dual fixe les prix pour déterminer le revenu optimal.
Le primal minimise la dépense à utilité fixée, tandis que le dual maximise l’utilité à revenu fixé.

Le primal maximise l’utilité à revenu fixé, tandis que le dual minimise la dépense à utilité fixée.

Explication

Le problème primal prend le revenu et les prix comme données et recherche l’utilité maximale, alors que le problème dual prend un niveau d’utilité comme objectif et recherche la dépense minimale. Les deux formulations ne diffèrent donc pas par une simple inversion des prix et du revenu.

13. Quelle variable distingue principalement la demande marshallienne de la demande hicksienne ?

La demande marshallienne dépend du multiplicateur KKT, tandis que la demande hicksienne dépend de la contrainte d’offre.
La demande marshallienne dépend de la dépense minimale, tandis que la demande hicksienne dépend de l’utilité maximale.
La demande marshallienne dépend du revenu MM, tandis que la demande hicksienne dépend de l’utilité visée uu.
La demande marshallienne dépend de l’utilité visée uu, tandis que la demande hicksienne dépend du revenu MM.

La demande marshallienne dépend du revenu $$M$$, tandis que la demande hicksienne dépend de l’utilité visée $$u$$.

Explication

La demande marshallienne résulte de la maximisation de l’utilité sous un revenu MM donné, alors que la demande hicksienne résulte de la minimisation de la dépense pour atteindre uu. Confondre MM et uu conduit à intervertir les deux concepts.

14. Comment définit-on la demande hicksienne d’un bien dans un problème de choix du consommateur ?

Elle maximise la dépense engagée pour atteindre un panier admissible.
Elle maximise l’utilité atteignable avec un revenu MM donné.
Elle détermine le revenu nécessaire pour financer une utilité maximale.
Elle minimise la dépense nécessaire pour atteindre un niveau d’utilité uu donné.

Elle minimise la dépense nécessaire pour atteindre un niveau d’utilité $$u$$ donné.

Explication

La demande hicksienne est la solution du problème dual : elle choisit le panier qui atteint uu au coût minimal. La maximisation de l’utilité sous une contrainte de revenu correspond plutôt à la demande marshallienne.

15. Selon le lemme de Shephard, comment obtenir la demande hicksienne du bien ii à partir de la fonction de dépense ?

Par hi∗(p,u)=∂e(p,u)∂pih_i^*(p,u)=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}.
Par hi∗(p,u)=∂pi∂e(p,u)h_i^*(p,u)=\frac{\partial p_i}{\partial e(p,u)}.
Par hi∗(p,u)=∂u(p,e)∂pih_i^*(p,u)=\frac{\partial u(p,e)}{\partial p_i}.
Par hi∗(p,u)=∂e(p,u)∂uh_i^*(p,u)=\frac{\partial e(p,u)}{\partial u}.

Par $$h_i^*(p,u)=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}$$.

Explication

Le lemme de Shephard indique que la dérivée de la fonction de dépense par rapport au prix du bien ii donne sa demande hicksienne. La dérivée par rapport à uu mesure plutôt la variation de la dépense minimale quand l’objectif d’utilité change.

16. Quelle relation au revenu caractérise un bien inférieur ?

Sa demande augmente lorsque le revenu augmente, donc ∂xi∗∂M>0\frac{\partial x_i^*}{\partial M}>0.
Sa demande diminue lorsque le revenu augmente, donc ∂xi∗∂M<0\frac{\partial x_i^*}{\partial M}<0.
Son prix augmente lorsque le revenu augmente, donc ∂pi∂M>0\frac{\partial p_i}{\partial M}>0.
Sa demande reste constante lorsque le revenu augmente, donc ∂xi∗∂M=0\frac{\partial x_i^*}{\partial M}=0.

Sa demande diminue lorsque le revenu augmente, donc $$\frac{\partial x_i^*}{\partial M}<0$$.

Explication

Un bien inférieur est défini par une dérivée de demande par rapport au revenu négative : une hausse de MM réduit la quantité demandée. Une dérivée positive caractérise au contraire un bien normal.

17. Un ménage consomme davantage d’un bien lorsque son revenu augmente, toutes choses égales par ailleurs. Comment classer ce bien ?

Il s’agit d’un bien de Giffen, car ∂xi∗∂pi>0\frac{\partial x_i^*}{\partial p_i}>0.
Il s’agit d’un bien normal, car ∂xi∗∂M>0\frac{\partial x_i^*}{\partial M}>0.
Il s’agit d’un bien complémentaire, car ses effets croisés sont négatifs.
Il s’agit d’un bien inférieur, car ∂xi∗∂M<0\frac{\partial x_i^*}{\partial M}<0.

Il s’agit d’un bien normal, car $$\frac{\partial x_i^*}{\partial M}>0$$.

Explication

Une demande qui augmente avec le revenu vérifie ∂xi∗∂M>0\frac{\partial x_i^*}{\partial M}>0, ce qui définit un bien normal. Le caractère de Giffen concerne la réaction au propre prix du bien, et non sa réaction au revenu.

18. Deux biens ont des effets croisés positifs sur leurs demandes respectives. Quelle relation économique décrivent-ils ?

Ils sont inférieurs, car leurs demandes diminuent avec le revenu.
Ils sont complémentaires, car ∂xi∗∂pj>0\frac{\partial x_i^*}{\partial p_j}>0 et ∂xj∗∂pi>0\frac{\partial x_j^*}{\partial p_i}>0.
Ils sont substituables, car ∂xi∗∂pj>0\frac{\partial x_i^*}{\partial p_j}>0 et ∂xj∗∂pi>0\frac{\partial x_j^*}{\partial p_i}>0.
Ils sont de Giffen, car leurs demandes augmentent avec leur propre prix.

Ils sont substituables, car $$\frac{\partial x_i^*}{\partial p_j}>0$$ et $$\frac{\partial x_j^*}{\partial p_i}>0$$.

Explication

Des effets croisés positifs signifient qu’une hausse du prix de l’un augmente la demande de l’autre, ce qui caractérise des biens substituables. Pour des biens complémentaires, les deux effets croisés sont négatifs.

19. Quelle fonction intervient dans l’identité de Roy pour relier la demande marshallienne aux préférences révélées par le consommateur ?

La fonction de production, différenciée par rapport aux facteurs et au produit
La fonction de valeur, différenciée par rapport aux prix et au revenu
La fonction d’offre, différenciée par rapport aux prix et au revenu
La fonction de dépense, différenciée par rapport aux prix et à l’utilité

La fonction de valeur, différenciée par rapport aux prix et au revenu

Explication

L’identité de Roy exprime la demande marshallienne à partir des dérivées de la fonction de valeur par rapport au prix et au revenu. La fonction de dépense intervient plutôt dans le lemme de Shephard, ce qui constitue la confusion classique.

20. Dans l’équation de Slutsky, comment interpréter le terme ∂hi(p,u)∂pj\frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_j} ?

Comme la variation de l’offre du bien ii après une variation de pjp_j
Comme l’effet de revenu associé à une variation du prix pjp_j
Comme l’effet de substitution compensé d’une variation du prix pjp_j
Comme la variation de l’utilité causée par une variation du revenu

Comme l’effet de substitution compensé d’une variation du prix $$p_j$$

Explication

Le terme dérivé de la demande hicksienne mesure l’effet de substitution lorsque le pouvoir d’achat est ajusté pour maintenir l’utilité. Le terme lié au revenu, dans l’équation de Slutsky, est plutôt −xj(p,M)∂xi(p,M)∂M-x_j(p,M)\frac{\partial x_i(p,M)}{\partial M}.

21. Un prix augmente et le revenu du consommateur est ajusté pour qu’il conserve son niveau d’utilité initial ; quelle variation observe-t-on alors ?

L’effet de substitution, mesuré à utilité constante
L’effet de richesse, mesuré à prix relatifs constants
L’effet d’offre, mesuré à production constante
L’effet de revenu, mesuré à panier de biens constant

L’effet de substitution, mesuré à utilité constante

Explication

L’effet de substitution correspond à la modification de la consommation après un changement de prix lorsque la compensation maintient le même niveau d’utilité. L’effet de revenu concerne plutôt la variation du pouvoir d’achat, sans imposer cette compensation à utilité constante.

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Mémorisez les réponses avec 33 flashcards sur Théorie de la demande microéconomique.

Qu'est-ce que la méthode de substitution en optimisation sous contrainte d'égalité ?

Elle transforme un problème sous contrainte en un problème sans contrainte en exprimant y = h(x) et maximisant φ(x) = f(x,h(x)).

Quelle fonction obtient-on en substituant dans U(x,y)=xy avec 2x+y=4 ?

On obtient f(x) = x(4−2x).

Pour quelles valeurs de x* et y* le maximum de f(x)=x(4−2x) est-il atteint ?

Le maximum est atteint pour x* = 1 et y* = 2.

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