Fiche de révision : Systèmes de numération et codage

📋 Plan du Cours

1. Bases et systèmes positionnels
2. Système binaire et octets
3. Conversions entre bases
4. Octal et hexadécimal
5. Numération et codage BCD
6. Arithmétique binaire
7. Entiers signés
8. Applications informatiques

📖 1. Bases et systèmes positionnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Système positionnel : système de numération positionnel, la valeur d’un chiffre dépend de sa position et s’écrit comme une somme de chiffres multipliés par des puissances de la base : $(a_na_{n-1}\ldots a_0)_B=\sum_{i=0}^{n}a_iB^i$, avec $0\leq a_i<B$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une écriture positionnelle, le chiffre le plus à droite a le poids $B^0=1$ et les poids sont multipliés par $B$ en allant vers la gauche ; à droite de la virgule, les poids deviennent $B^{-1},B^{-2},B^{-3},\ldots$.

📌 La base indique la représentation d’un nombre et ne constitue pas une propriété de sa valeur numérique : $1010_2=12_8=10_{10}=A_{16}$.

Compléments

• Une base $B$ possède $B$ symboles distincts représentant les valeurs de 0 à $B-1$.

💡 Astuce mémo

Décimal pour l’humain, binaire pour la machine, hexadécimal pour lire compactement.

📖 2. Système binaire et octets

🔑 Notions clés & Définitions

• Système binaire : système positionnel de base 2 utilisant uniquement les symboles 0 et 1 ; un chiffre binaire est appelé bit.
• Octet : 8 bits et peut représenter $2^8=256$ configurations différentes.

★ À maîtriser

• Pour un octet non signé, $00000000_2=0$ et $11111111_2=255$, cette dernière valeur s’écrivant aussi $FF_{16}$.

Compléments

📌 Le MSB est le bit de poids fort, généralement le plus à gauche, tandis que le LSB est le bit de poids faible, généralement le plus à droite.

📌 Dans le modèle logique élémentaire, un niveau bas est associé à 0 et un niveau haut à 1, sans que 1 corresponde toujours exactement à 5 V.

💡 Astuce mémo

Un interrupteur électronique bascule entre 0 et 1.

📖 3. Conversions entre bases

★ À maîtriser

• Pour convertir un entier décimal en base $B$, on effectue des divisions successives par $B$, on note les restes, puis on les lit de bas en haut.

• Pour convertir une fraction décimale comprise entre 0 et 1 en binaire, on la multiplie successivement par 2 et chaque partie entière obtenue fournit le bit suivant.

Compléments

• La décomposition $230=128+64+32+4+2$ donne $230_{10}=11100110_2$.

📌 Une fraction peut avoir une écriture finie dans une base et une écriture infinie dans une autre, comme $0{,}5_{10}=0{,}1_2$ alors que $0{,}1_{10}=0{,}0001100110011\ldots_2$.

💡 Astuce mémo

Entier : divisions et restes ; fraction : multiplications et parties entières.

📖 4. Octal et hexadécimal

★ À maîtriser

• La base 8 utilise les symboles 0 à 7 et la base 16 utilise 0 à 9 puis A à F, avec $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$ et $F=15$.

📌 Un chiffre octal correspond exactement à 3 bits, car $8=2^3$, tandis qu’un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits, car $16=2^4$.

• Pour convertir du binaire vers l’hexadécimal, on regroupe les bits par paquets de 4 en partant de la droite pour la partie entière, puis on remplace chaque paquet par le chiffre hexadécimal correspondant.

Compléments

• Pour convertir une fraction binaire vers l’hexadécimal, on regroupe les bits fractionnaires par 4 en partant de la gauche et on ajoute des zéros à droite si nécessaire.

💡 Astuce mémo

3 bits par chiffre octal, 4 bits par chiffre hexadécimal.

📖 5. Numération et codage BCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Binaire pur : on convertit directement la valeur entière en base 2 et les zéros ajoutés à gauche servent seulement à atteindre une taille fixée, comme 8, 16, 32 ou 64 bits.
• Code BCD : représente chaque chiffre décimal séparément sur 4 bits ; ainsi, $39$ devient $0011\ 1001_{BCD}$.

★ À maîtriser

📌 La numération décrit l’écriture d’une valeur dans une base, tandis que le codage applique une règle pour représenter une information que l’ordinateur peut traiter ou stocker.

📌 Pour la valeur 39, le binaire pur utilise $100111_2$, soit 6 bits, tandis que le BCD utilise $0011\ 1001$, soit 8 bits.

Compléments

• Pour décoder du BCD, on découpe la suite en groupes de quatre bits et on interprète chaque groupe comme un chiffre décimal indépendant.

💡 Astuce mémo

Binaire pur : toute la valeur ; BCD : chaque chiffre séparément.

📖 6. Arithmétique binaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : dans une base $b$, la division euclidienne cherche un quotient $Q$ et un reste $R$ tels que $A=BQ+R$ avec $0\leq R<B$.

📝 Points essentiels

📌 En addition binaire, $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$ et $1+1=10_2$ ; avec une retenue, $1+1+1=11_2$.

• La multiplication binaire utilise les produits de 0 et 1 et décale chaque résultat intermédiaire d’une position vers la gauche à chaque nouvelle position du multiplicateur.

💡 Astuce mémo

Additionner avec retenue, multiplier par décalages, diviser par quotient et reste.

📖 7. Entiers signés

★ À maîtriser

• Sur 4 bits en complément à deux, les entiers représentables vont de $-8$ à $+7$ ; par exemple, $1111_2=-1$ et $1000_2=-8$.

• Pour représenter $-N$ sur $n$ bits en complément à deux, on écrit $N$ sur exactement $n$ bits, on inverse tous les bits, puis on ajoute 1.

📐 Formule — Sur $n$ bits, la plage des entiers signés en complément à deux est $-2^{n-1}\leq N\leq 2^{n-1}-1$, tandis que la plage non signée est $0\leq N\leq 2^n-1$.

Compléments

• Pour soustraire $B$ à $A$ dans un format de taille fixe, on additionne à $A$ le complément à deux de $B$ et on conserve uniquement le nombre de bits imposé.

💡 Astuce mémo

Pour un négatif : écrire, inverser, ajouter 1.

📖 8. Applications informatiques

📝 Points essentiels

• Une adresse IPv4 comme $192.168.10.25$ est composée de quatre octets qui peuvent chacun être convertis en binaire sur 8 bits.

• Dans une couleur RGB comme $\#3366CC$, les trois composantes $RR$, $GG$ et $BB$ sont chacune codées sur 8 bits.

• Un affichage numérique peut préférer le BCD au binaire pur malgré son coût en bits lorsque les chiffres décimaux doivent être manipulés ou affichés directement.

• Les écritures hexadécimales sont fréquentes dans la mémoire, le débogage, les réseaux et la programmation car elles condensent les suites binaires.

📊 Tableaux de synthèse

Binaire pur et BCD

Plages selon l’interprétation