QCM : Calcul et arithmétique — 24 questions

Explication

La racine carrée désigne l’unique solution positive ou nulle dont le carré vaut x. Les solutions de y²=x peuvent toutefois inclure deux nombres opposés, ce qui constitue une notion différente.

Explication

La racine carrée de x est non négative et vérifie √x × √x = x. L’affirmation selon laquelle elle serait négative confond la racine carrée avec une autre solution possible de y²=x.

Explication

Pour deux réels positifs, la racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées, donc √36=3×2=6. Les autres égalités remplacent à tort le produit par une addition ou appliquent la racine à un seul facteur.

Explication

Deux fractions de même dénominateur se somment en additionnant leurs numérateurs, ce qui donne (a+b)/c. Additionner les dénominateurs correspond à une confusion fréquente avec la règle de calcul.

Explication

Dans un produit de fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 2×5 sur 3×7 donne 10/21. Additionner les numérateurs ou mélanger numérateur et dénominateur ne correspond pas à la règle du produit.

Explication

Des dénominateurs différents doivent d’abord être transformés en un dénominateur commun, puis les numérateurs sont additionnés. L’addition directe des quatre nombres ne respecte pas les règles de calcul des fractions.

Explication

Une puissance entière positive représente une multiplication répétée de n facteurs égaux à la base a. Elle ne doit pas être confondue avec le produit simple a×n, qui ne répète pas la base n fois.

Explication

Un exposant négatif transforme la puissance en son inverse : $a^{-3}=1/a^3$. L’exposant nul donne 1, mais cette règle ne signifie pas qu’un exposant négatif produise a^3 ou une valeur opposée.

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants : $a^4×a^3=a^{4+3}=a^7$. Multiplier les exposants correspond à la règle d’une puissance d’une puissance, et non à celle d’un produit de puissances.

Explication

Une expression semi-développée est une somme ou une différence dans laquelle subsiste encore un produit. Une expression développée, en revanche, est une somme ou une différence ne nécessitant plus de développement.

Explication

La distributivité donne 3(x+5)=3x+15 et transforme ainsi un produit en somme. La factorisation correspond au mouvement inverse, puisqu’elle transforme une somme en produit.

Explication

Le facteur commun à 6x et 9 est 3, donc 6x+9=3(2x+3). Les termes restants 2x et 3 demeurent dans la parenthèse après extraction du facteur commun.

Explication

L’identité (a−b)²=a²−2ab+b² donne ici x²−2·x·4+4², soit x²−8x+16. Le signe du terme du milieu est négatif pour un carré de différence.

Explication

La méthode consiste à obtenir une égalité de produit nul, à factoriser l’expression, puis à annuler au moins un facteur. La propriété du produit nul ne s’applique pas directement à une équation qui n’est pas encore factorisée.

Explication

Un produit est nul dès qu’au moins un de ses facteurs est nul, ce qui donne A=0 ou B=0. Il n’est pas nécessaire que les deux facteurs soient nuls simultanément.

Explication

Le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif, donc x²=−9 n’a aucune solution réelle. Les nombres 3 et −3 ont pour carré 9, et non −9.

Explication

Un quotient est nul lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul, les valeurs qui annulent le dénominateur étant exclues. Un dénominateur nul rend l’expression non définie.

Explication

La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé, donc |−7|=7. Elle représente une grandeur positive ou nulle, même lorsque le nombre initial est négatif.

Explication

On a toujours √(x²)=|x|, car la racine carrée désigne la valeur positive ou nulle. L’égalité √(x²)=x ne serait vraie que pour x positif ou nul.

Explication

La distance se calcule par |a−b|, donc |−2−5|=|−7|=7. La différence orientée −2−5 vaut −7, mais une distance est positive ou nulle.

Explication

La relation |x−a|=r donne x=a+r ou x=a−r ; ici x=3+4 ou x=3−4. Les deux solutions sont donc 7 et −1.

Explication

Un nombre divisible par 10 doit avoir 0 comme chiffre des unités ; il est alors aussi divisible par 2 et par 5. Les autres nombres se terminent respectivement par 2, 5 et 8, ce qui ne permet pas de satisfaire les trois critères.

Explication

La divisibilité par 4 dépend du nombre formé par les deux derniers chiffres : ici, 16 est divisible par 4. Examiner le dernier chiffre correspond à la règle de divisibilité par 2, pas à celle de 4.

Explication

Comme 42 peut s’écrire 6×7 avec un entier 6, 42 est un multiple de 7 et 7 est un diviseur de 42. L’écriture proposée dans la troisième réponse établit précisément la relation inverse de celle qui est affirmée.