Fiche de révision : Calcul et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Racines carrées et propriétés
2. Fractions et méthodes de calcul
3. Puissances et exposants
4. Expressions algébriques
5. Résolution des équations
6. Valeur absolue et distance
7. Divisibilité et nombres entiers

📖 1. Racines carrées et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique réel positif dont le carré vaut x, notée √x ou x^(1/2).

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x réel positif, $\sqrt{x}\times\sqrt{x}=x$ et $\sqrt{x}\geq 0$.

📐 Formule — Pour x et y positifs, $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}$ et, si y>0, $\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$.

Compléments

📌 Pour a et b strictement positifs, $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

💡 Astuce mémo

Une racine carrée est toujours positive, contrairement aux deux solutions possibles de x²=a.

📖 2. Fractions et méthodes de calcul

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de deux fractions de même dénominateur vérifie $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.

📐 Formule — Le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}$.

• Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, on les met au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs.

Compléments

• L’expression $\frac{2}{x}+\frac{3}{1+x}$ se réduit à $\frac{2+5x}{x+x^2}$ après mise au même dénominateur.

💡 Astuce mémo

Multiplier directement ; additionner après avoir aligné les dénominateurs.

📖 3. Puissances et exposants

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel a non nul, $a^0=1$ et, pour n naturel, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Pour a et b non nuls et n et p entiers, $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{np}$.

Compléments

📐 Formule — Pour a et b non nuls, $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Même base : × additionne, ÷ soustrait, puissance multiplie.

📖 4. Expressions algébriques

📝 Points essentiels

📌 Une expression développée est une somme ou une différence sans développement possible, une expression factorisée est un produit de facteurs et une expression semi-développée est une somme ou une différence contenant encore un produit.

📐 Formule — Développer repose sur $a(b+c)=ab+ac$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Factoriser utilise notamment $ab+ac=a(b+c)$, où a est le facteur commun.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Développer → réduire → ordonner ; factoriser suit le chemin inverse.

📖 5. Résolution des équations

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 2, on la transforme en égalité nulle, on factorise, puis on applique la propriété du produit nul.

📌 Un produit nul vérifie $A\times B=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

📌 L’équation x²=a admet deux solutions x=√a ou x=−√a si a>0, une solution x=0 si a=0 et aucune solution si a<0.

📌 Un quotient $\frac{A}{B}$ est nul si et seulement si A=0 et B≠0, après exclusion des valeurs qui annulent le dénominateur.

💡 Astuce mémo

Factoriser en produit nul → chaque facteur donne une solution, sous conditions.

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : A si A est positif et −A si A est négatif ; elle se note |A|.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, $|x|\geq0$, $|-x|=|x|$, $\sqrt{x^2}=|x|$ et $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$.

📐 Formule — La distance entre les points d’abscisses a et b sur une droite graduée est $d(a;b)=|a-b|$.

📐 Formule — Pour a réel et r>0, $|x-a|=r\Longleftrightarrow x=a+r\text{ ou }x=a-r$.

📐 Formule — Pour a réel et r>0, $|x-a|\leq r\Longleftrightarrow x\in[a-r;a+r]$.

💡 Astuce mémo

Un point central a et deux bornes à distance r sur une droite graduée.

📖 7. Divisibilité et nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier naturel a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a=k×b ; b est alors un diviseur de a.
• Nombre pair : Un nombre pair est un multiple de 2 et s’écrit 2k avec k entier ; un nombre impair n’est pas pair et s’écrit 2k+1 avec k entier.
• Nombre premier : Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si son chiffre des unités est 5 ou 0, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

📌 Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

📌 Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

Compléments

📌 Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1, et une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

💡 Astuce mémo

Pair = multiple de 2 ; impair = non-multiple de 2.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité