Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales du second degré
2. Forme canonique et discriminant
3. Résolution selon le discriminant
4. Somme et produit des racines
5. Factorisation du trinôme
6. Signe du trinôme
7. Applications aux inéquations

📖 1. Notions fondamentales du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des nombres réels et $a\ne0$.
• Trinôme du second degré : Expression $ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$.
• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$.

📖 2. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles.
• Discriminant : Le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$, avec $\Delta=b^2-4ac$.

Compléments

• Pour obtenir la forme canonique, on peut appliquer directement les formules du discriminant ou suivre la méthode de semi-factorisation issue de la démonstration.

💡 Astuce mémo

Le discriminant détermine la forme canonique puis le nombre de racines

📖 3. Résolution selon le discriminant

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux solutions $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l’équation possède une solution unique, éventuellement appelée solution double, donnée par $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution dans ℝ et le trinôme ne peut pas être factorisé davantage sur ℝ.

Compléments

• Pour résoudre $2x^2-5x-3=0$, on calcule $\Delta=49$, puis les deux solutions sont $x_1=3$ et $x_2=-\frac12$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine ; Δ négatif : aucune racine

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque $\Delta\ge0$, la somme des deux racines, en comptant deux fois la racine double, vérifie $x_1+x_2=-\frac ba$.

Compléments

• Pour $x^2+2x-8=0$, comme 2 est une racine et que la somme des racines vaut −2, la seconde racine est −4.

💡 Astuce mémo

S comme Somme = −b/a, P comme Produit = c/a

📖 5. Factorisation du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme factorisé : Écrit comme le produit d’une constante par deux polynômes du premier degré.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise selon $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise selon $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne possède pas de forme factorisée sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Deux racines donnent deux facteurs ; une racine donne un carré ; aucune racine ne factorise pas

📖 6. Signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de a sauf entre ses deux racines réelles lorsqu’elles existent.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sur ℝ et s’annule uniquement pour $x=\alpha$.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme est partout du signe de a et ne s’annule jamais.

💡 Astuce mémo

Signe de a — zéro — signe contraire — zéro — signe de a

📖 7. Applications aux inéquations

★ À maîtriser

• 🔄 Pour dresser le tableau de signes d’un trinôme: calculer le discriminant, déterminer les racines si elles existent, appliquer la règle du signe de a sauf entre les racines

Compléments

• Pour résoudre $-2x^2+3x-1<0$, les racines sont $\frac12$ et 1, et l’ensemble solution est $]-\infty;\frac12[\,\cup\,]1;+\infty[$.

📊 Tableaux de synthèse

Racines, factorisation et signe