Fiche de révision : Ensembles de nombres et valeur absolue

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de référence
2. Ensembles finis et intervalles
3. Réunion et intersection
4. Encadrement et approximation
5. Valeur absolue et distance

📖 1. Ensembles de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Nombre positif qui peut s’écrire sans virgule
• Entier relatif : Entier naturel muni d’un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à zéro sur un axe orienté
• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction décimale dont le dénominateur est une puissance de 10
• Nombre rationnel : Nombre qui s’écrit comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul
• Nombre irrationnel : Nombre réel qui n’est pas rationnel

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres vérifient les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

💡 Astuce mémo

Du plus petit au plus large : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

📖 2. Ensembles finis et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : Un ensemble fini de nombres se note entre accolades, par exemple A = {3 ; −4 ; 1,8 ; π}.
• Intervalle : Ensemble de tous les réels compris entre deux réels a et b avec a inférieur ou égal à b, ou ensemble des réels inférieurs ou supérieurs à une valeur

💡 Astuce mémo

Les accolades listent des éléments ; les intervalles regroupent tous les réels entre des bornes.

📖 3. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments appartenant à A et à B
• Réunion : Ensemble des éléments appartenant à A ou à B

📝 Points essentiels

• L’intersection de deux intervalles disjoints est l’ensemble vide, noté ∅.

💡 Astuce mémo

Intersection = « et » ; réunion = « ou ».

📖 4. Encadrement et approximation

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Action de trouver deux nombres a et b tels que a < x < b
• Troncature : Action de couper au rang indiqué et de supprimer les chiffres situés à droite de la coupure

★ À maîtriser

• L’amplitude d’un encadrement est donnée par $b-a$.

📌 Pour arrondir un nombre décimal, on conserve le nombre coupé si le chiffre suivant vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, et on augmente de 1 le dernier chiffre coupé si ce chiffre vaut 5, 6, 7, 8 ou 9.

📌 La valeur approchée par défaut est immédiatement inférieure au nombre, tandis que la valeur approchée par excès est immédiatement supérieure.

Compléments

• L’encadrement de π au millième est 3,14 < π < 3,15.

💡 Astuce mémo

La troncature coupe ; l’arrondi observe le chiffre suivant.

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre réel x, notée |x|, vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distance entre deux réels a et b vérifie $d(a;b)=|b-a|=|a-b|$.

• La valeur absolue |a| est la distance entre le réel a et zéro, car d(a;0) = d(0;a) = |a|.

• 🔄 La traduction en intervalle suit trois étapes:

  1. Traduire la valeur absolue en distance
  2. Représenter si nécessaire la situation sur la droite des réels
  3. Donner l’ensemble des réels

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro sur une droite graduée.