Qu'impose l'équivalence entre f et g au voisinage de a ?
La limite du rapport f(x)/g(x) vaut 1 quand x tend vers a.
Comment note-t-on l'équivalence de f et g au voisinage de a ?
On note f(x) xa g(x).
Quelle équivalence trigonométrique est vraie au voisinage de 0 ?
On a sin x x au voisinage de 0.
Quelle équivalence exponentielle est vraie au voisinage de 0 ?
On a e^x - 1 x au voisinage de 0.
Quelle équivalence logarithmique est vraie au voisinage de 0 ?
On a ln(1+x) x au voisinage de 0.
Qu'impose la négligeabilité de f devant g au voisinage de a ?
La limite de f(x)/g(x) quand x tend vers a est zéro.
Comment note-t-on que f est négligeable devant g ?
On note f=o(g).
Qu'est-ce que signifie que f est dominée par g au voisinage de a ?
Le quotient f/g est borné près de a.
Comment s'écrit que f est dominée par g ?
On écrit f=O(g).
Que signifie la relation f=o(g) en termes de domination ?
Elle implique toujours f=O(g).
Quelles opérations usuelles s'appliquent aux termes négligeables ?
On a o(g)±o(g)=o(g) et h·o(g)=o(hg).
Quelles propriétés l'équivalence satisfait-elle ?
Elle est réflexive, symétrique et transitive.
Que peut-on faire avec des équivalents en termes d'inversion ?
Si f∼_a g alors 1/f∼_a 1/g.
Que reste équivalent sous multiplication ou division ?
Les produits ou quotients de fonctions équivalentes restent équivalents.
À quoi est équivalent un polynôme à l'infini ?
Il est équivalent à son terme de plus haut degré a_p x^p.
Que signifie f∼ₓ→a g concernant leurs limites ?
f et g ont la même limite au voisinage de a.
Qu'impose f∼ₓ→a g sur le signe de f et g ?
f et g ont le même signe au voisinage de a.
Qu'est-ce qu'un développement limité d'ordre n au voisinage de a ?
Une expression de f(x) en polynôme de degré n plus un petit o de (x-a)^n.
Quelle propriété caractérise le développement limité d'une fonction au voisinage d'un point ?
Il est unique.
Quelle est la partie régulière d'un développement limité ?
Le polynôme C₀ + C₁(x-a) + ... + Cₙ(x-a)ⁿ.
Quel est le reste dans un développement limité ?
Le terme o((x-a)ⁿ).
Que peut-on dire d'un DL d'ordre p<n si un DL d'ordre n existe ?
Il s'obtient en tronquant la partie régulière à l'ordre p.
Quelle formule donne le développement de Taylor-Young pour f de classe Cⁿ ?
f(x)=∑ₖ₌₀ⁿ (f^(k)(a)/k!) (x−a)^k + o((x−a)^n).
Quelles puissances apparaissent dans le développement en 0 d'une fonction paire ?
Seules les puissances paires apparaissent.
Quelles puissances apparaissent dans le développement en 0 d'une fonction impaire ?
Seules les puissances impaires apparaissent.
Quel est le développement limité en 0 de l'exponentielle ?
e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ).
Quel est le développement limité usuel de sin x ?
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! + o(x⁵).
Quel est le développement limité usuel de sinh x ?
sinh x = x + x³/3! + x⁵/5! + o(x⁵).
Qu'impose une combinaison linéaire de fonctions avec DL d'ordre n sur leur DL ?
Elle possède un DL d'ordre n avec la même combinaison linéaire des parties régulières.
Comment multiplier deux développements limités ?
On multiplie leurs parties régulières et conserve les termes jusqu'à l'ordre n.
Quel est le développement limité de 1/cosh x au voisinage de 0 ?
1 - x²/2 + o(x³).
Quel est le développement limité de tanh x au voisinage de 0 ?
x - x³/3 + o(x³).
Quel est le développement limité d'ordre 3 de tan x au voisinage de 0 ?
x + x³/3 + o(x³).
Qu'impose le premier coefficient non nul Cₚ d'un développement limité ?
La fonction est équivalente à Cₚ(x-a)^p au voisinage de a.
Quelle est la forme du développement limité de f(x)=ln(2+x+x²) en 0 ?
f(x)=ln 2 + x/2 + (3/8)x² + o(x²).
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f en 0 pour f(x)=ln(2+x+x²) ?
y = ln 2 + x/2.
Où se situe la courbe de f(x)=ln(2+x+x²) par rapport à sa tangente en 0 ?
La courbe est au-dessus de la tangente au voisinage de 0.
Quelle condition caractérise une asymptote oblique y=ax+b de f à l'infini ?
limₓ→±∞[f(x) - (ax+b)] = 0.
Quel changement de variable est utilisé pour étudier f(x)=x³/(x² - x + 1) à l'infini ?
On pose t = 1/x.
Quelle est l'expression asymptotique de f(x)=x³/(x² - x + 1) quand x tend vers +∞ ?
f(x) = x + 1 - 1/x² + o(1/x²).
Quelle est l'asymptote oblique de f(x)=x³/(x² - x + 1) à +∞ et où est la courbe ?
L'asymptote est y = x + 1 et la courbe est en dessous.
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1. Concernant l’équivalence de deux fonctions au voisinage d’un point, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
2. Au voisinage de zéro, quelles sont les fonctions équivalentes à x ?
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