Flashcards : Sommes, produits et binôme — 38 cartes

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1Question

Comment note-t-on l'ensemble des entiers de p à q inclus ?

Réponse

On le note [[p,q]].

2Question

Combien d'entiers contient l'ensemble [[p,q]] ?

Réponse

Il contient q-p+1 entiers.

3Question

Comment note-t-on une famille de q-p+1 réels indexée de p à q ?

Réponse

On la note $(x_i)_{i$ [[p,q]]}.

4Question

Quels éléments contient la famille $(x_i)_{i$ [[p,q]]} ?

Réponse

Elle contient $x_p, x_{p+1}$ , ..., x_q.

5Question

Combien d'éléments contient la famille $(x_i)_{i [[0,n]]}$ définie par x_i=2i-1 ?

Réponse

Elle contient n+1 éléments.

6Question

Quelle est la formule de x_i dans la famille $(x_i)_{i [[0,n]]}$ ?

Réponse

x_i = 2i - 1.

7Question

Quels sont les premiers et derniers éléments de la famille $(x_i)_{i [[0,n]]}$ ?

Réponse

Les éléments vont de -1 à 2n - 1.

8Question

Comment note-t-on la somme de la famille $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ ?

Réponse

On la note $\sum_{i=p}^{q}x_i$ ou $\sum_{i\in[[p,q]]}x_i$ .

9Question

Que fait la somme $\sum_{i=p}^{q}x_i$ ?

Réponse

Elle additionne tous les éléments de la famille $(x_i)$ .

10Question

Que signifie que l’indice de sommation est muet dans une somme ?

Réponse

Remplacer l’indice par une autre lettre ne change pas la valeur de la somme.

11Question

Quelle est la relation de Chasles pour une somme ?

Réponse

$\sum_{i=m}^{n}x_i=\sum_{i=m}^{p}x_i+\sum_{i=p+1}^{n}x_i$ pour $m\le p<n$ .

12Question

Que permet la relation de Chasles sur une somme ?

Réponse

Elle partage une somme en deux sommes partielles adjacentes.

13Question

Quelle formule exprime la linéarité des sommes ?

Réponse

$\sum_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a\sum_{i=p}^{q}x_i+\sum_{i=p}^{q}y_i$ .

14Question

Quelle est la formule de la somme de n-p+1 termes constants égaux à a ?

Réponse

La somme est a(n-p+1).

15Question

Quelle est la formule de la somme d'une suite arithmétique de premier terme u_0 et raison r ?

Réponse

La somme est (n+1)(u_0+u_n)/2 = (n+1)u_0 + n(n+1)r/2.

16Question

Quelle est la formule de la somme des entiers de 0 à n ?

Réponse

La somme est n(n+1)/2.

17Question

Quelle est la formule de la somme des entiers de p à n ?

Réponse

La somme est ((p+n)(n-p+1))/2.

18Question

Quelle est la formule de la somme d'une suite géométrique de premier terme u_0 et raison q différente de 1 ?

Réponse

La somme est $u_0(1-q^{n+1})/(1-q)$ .

19Question

Quelle est la somme d'une suite géométrique de raison q=1 et premier terme u_0 ?

Réponse

La somme est (n+1)u_0.

20Question

Quelle est la formule d'une somme télescopique de termes $(x_{i+1}-x_i)$ de i=p à q-1 ?

Réponse

La somme est x_q - x_p.

21Question

Quelles sont les étapes pour changer l’indice d’une somme ?

Réponse

Choisir le décalage, calculer les nouvelles bornes, réécrire le terme général.

22Question

Que fait le changement d’indice i = k + 1 sur les bornes de k ?

Réponse

Il transforme k ∈ [[0,n]] en i ∈ [[1,n+1]].

23Question

Comment le terme général change-t-il lors du changement d’indice i = k + 1 ?

Réponse

On remplace k par i - 1 dans le terme général.

24Question

Comment se note le produit fini d'une famille $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ ?

Réponse

$\prod_{i=p}^{q}x_i$

25Question

Quelle est la propriété du produit $\prod_{i=p}^{q}(\alpha x_i)$ ?

Réponse

Il vaut $\alpha^{q-p+1}\prod_{i=p}^{q}x_i$ .

26Question

Comment se décompose $\prod_{i=p}^{q}(x_iy_i)$ ?

Réponse

C'est $\left(\prod_{i=p}^{q}x_i\right)\left(\prod_{i=p}^{q}y_i\right)$ .

27Question

Quelle est la formule d'un produit télescopique de termes non nuls ?

Réponse

$\prod_{i=p}^{q-1}\frac{x_{i+1}}{x_i}=\frac{x_q}{x_p}$ .

28Question

Comment est définie la factorielle $n!$ pour $n\geq1$ ?

Réponse

$n! = \prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ .

29Question

Quelle est la valeur conventionnelle de $0!$ ?

Réponse

Par convention, $0! = 1$ .

30Question

Quelle est la formule du coefficient binomial « k parmi n » ?

Réponse

C'est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

31Question

Quelle est la valeur de $\binom{n}{0}$ ?

Réponse

Elle vaut 1.

32Question

Quelle est la valeur de $\binom{n}{1}$ ?

Réponse

Elle vaut $n$ .

33Question

Quelle est la relation entre $\binom{n}{k}$ et $\binom{n}{n-k}$ ?

Réponse

Ils sont égaux.

34Question

Quelle est la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux ?

Réponse

$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ pour $n\neq0$ et $0\le k\le n-1$ .

35Question

Quelle est la formule du binôme de Newton ?

Réponse

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ pour $n\in\mathbb{N}$ et $a,b\in\mathbb{R}$ .

36Question

Quelle formule exprime la différence de puissances pour n entier positif ?

Réponse

$a^n-b^n=(a-b)∑_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}$ .

37Question

Quelle condition sur n permet d'utiliser la formule de la somme de puissances donnée ?

Réponse

n doit être impair.

38Question

Quelle formule exprime la somme de puissances pour n impair ?

Réponse

$a^n+b^n=(a+b)∑_{k=0}^{n-1}(-1)^k a^k b^{n-1-k}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 20 questions sur Sommes, produits et binôme.

1. Combien d’entiers contient l’ensemble [[p,q]] lorsque p et q sont des entiers avec p≤q ?

2. Quelle écriture désigne une famille composée des éléments $x_p,x_{p+1},…,x_q$ ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Sommes, produits et binôme.

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