Fiche de révision : Algèbre et géométrie plane

📋 Plan du Cours

1. Notations et langage mathématique
2. Coordonnées dans le plan et l’espace
3. Ensembles définis par une équation
4. Équations cartésiennes des droites
5. Forme réduite d’une droite
6. Équivalence des équations de droites

📖 1. Notations et langage mathématique

★ À maîtriser

• ℝ désigne l’ensemble des nombres réels et ℕ désigne l’ensemble des entiers naturels, comprenant 0, 1 et 2.

📌 L’implication A ⇒ B signifie que si A est vraie, alors B est vraie, tandis que l’équivalence A ⇔ B signifie que A et B sont vraies simultanément ou fausses simultanément.

Compléments

• Les quantificateurs ∀x et ∃x signifient respectivement « pour tout x » et « il existe x ».

📐 Formule — Pour une suite de réels a₁, …, aₘ avec m ≥ 1, la somme s’écrit $\sum_{i=1}^{m} a_i = a_1+a_2+\dots+a_m$.

📖 2. Coordonnées dans le plan et l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace ℝⁿ : L’ensemble des m-uplets de réels (x₁, x₂, …, xₘ), où m est un entier supérieur ou égal à 1.

📝 Points essentiels

• ℝ² est l’ensemble des couples de réels (x,y), tandis que ℝ³ est l’ensemble des triplets de réels (x,y,z).

📌 Deux couples (x,y) et (x',y') sont égaux si et seulement si x = x' et y = y', donc (1,2) ≠ (2,1).

📐 Formule — Dans un repère orthonormé du plan, les coordonnées (x,y) d’un point M vérifient $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé de l’espace, les coordonnées (x,y,z) d’un point M vérifient $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

💡 Astuce mémo

Un point M se repère par ses coordonnées et son vecteur OM dans le repère.

📖 3. Ensembles définis par une équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble défini par une propriété : Pour une propriété P(x,y), l’ensemble des points du plan qui la vérifient est $X_P=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid P(x,y)\text{ est vraie}\}$.
• Ensemble d’une équation : Pour une fonction f de ℝ² vers ℝ, l’ensemble associé à l’équation f(x,y)=0 est l’ensemble des points (x,y) de ℝ² qui vérifient cette équation.

📝 Points essentiels

• L’équation x = y définit l’ensemble Δ = {(x,y) ∈ ℝ² | x = y}.

💡 Astuce mémo

Propriété vérifiée → ensemble des points correspondants.

📖 4. Équations cartésiennes des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite du plan : L’ensemble des solutions d’une équation ax+by+c=0 avec (a,b) ≠ (0,0).

★ À maîtriser

• L’équation y=αx+β est une droite d’équation cartésienne αx−y+β=0.

• Dans l’équation réduite y=αx+β, α est la pente de la droite et β est son ordonnée à l’origine.

Compléments

• La droite verticale d’équation x=x₀ peut s’écrire sous la forme x−x₀=0.

💡 Astuce mémo

Droite oblique y = αx + β, droite verticale x = x₀.

📖 5. Forme réduite d’une droite

★ À maîtriser

• Pour une droite ax+by+c=0 avec b ≠ 0, on divise par b puis on obtient $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$.

• Pour une droite ax+by+c=0 avec b=0, on a nécessairement a ≠ 0 et l’équation réduite est $x=-\frac{c}{a}$.

Compléments

• Les équations 2x+3y+4=0 et 4x+6y+8=0 définissent la même droite.

💡 Astuce mémo

b ≠ 0 → forme y = mx + p ; b = 0 → forme x = x₀.

📖 6. Équivalence des équations de droites

★ À maîtriser

📌 Deux équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 définissent la même droite si et seulement si les coefficients sont proportionnels par un réel λ non nul : (a,b,c)=λ(a',b',c').

📌 Pour deux droites identiques, avoir la même équation réduite et avoir des triplets de coefficients proportionnels par un réel non nul sont deux formulations équivalentes.

Compléments

• Pour montrer l’équivalence entre égalité des droites, égalité des formes réduites et proportionnalité des coefficients, on démontre successivement (iii) ⇒ (i), (i) ⇒ (ii) et (ii) ⇒ (iii).

💡 Astuce mémo

Multiplication par λ ≠ 0 → même ensemble de points → même droite.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’équations d’une droite