Fiche de révision : Droites et courbes paramétrées

📋 Plan du Cours

1. Unicité de l’équation réduite
2. Définition des courbes paramétrées
3. Exemples de paramétrages classiques
4. Paramétrages des droites

📖 1. Unicité de l’équation réduite

★ À maîtriser

📌 Deux droites ayant la même équation réduite ont des coefficients d’équations cartésiennes proportionnels par un même réel non nul.

Compléments

📌 Lorsque b=b'=0, les équations réduites sont respectivement $x=x_0$ et $x=x'_0$ ; si les deux droites sont égales, alors $x_0=x'_0$ et leurs équations réduites coïncident.

• Pour b et b' non nuls, l’égalité des équations réduites permet de comparer les coefficients en prenant successivement x=0 puis x=4, ce qui conduit à la proportionnalité des coefficients des deux équations cartésiennes.

💡 Astuce mémo

Deux équations réduites identiques imposent deux coefficients proportionnels.

📖 2. Définition des courbes paramétrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe paramétrée : Ensemble $E=\{(X(t),Y(t))\mid t\in\mathbb{R}\}$ des points obtenus lorsque t parcourt R.

★ À maîtriser

• Le paramétrage $X(t)=\cos t$ et $Y(t)=\sin t$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1, car $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$.

Compléments

• Le paramétrage $X(t)=t$ et $Y(t)=t$ décrit la droite d’équation réduite $y=x$.

💡 Astuce mémo

Un point parcourt la courbe lorsque le paramètre t varie.

📖 3. Exemples de paramétrages classiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramétrage affine : Donné par $x(t)=v_0t+x_0$ et $y(t)=v_1t+y_0$ avec $(v_0,v_1)\neq(0{,}0)$.

★ À maîtriser

• Pour montrer qu’une droite et une courbe paramétrée sont égales, il faut établir les deux inclusions entre leurs ensembles de points.

📐 Formule — La courbe associée au paramétrage affine est la droite d’équation $v_1x-v_0y+v_0y_0-v_1x_0=0$.

Compléments

📌 Si v₀=v₁=0, le paramétrage affine est constant et la courbe obtenue est le point unique $(x_0,y_0)$.

💡 Astuce mémo

(t,t) trace une droite, tandis que (cos t,sin t) trace un cercle.

📖 4. Paramétrages des droites

★ À maîtriser

📐 Formule — La droite passant par deux points distincts $A_1=(x_1,y_1)$ et $A_2=(x_2,y_2)$ admet le paramétrage $x(t)=(1-t)x_1+tx_2$ et $y(t)=(1-t)y_1+ty_2$.

📌 Par deux points distincts A₁ et A₂ passe une unique droite, notée (A₁,A₂).

Compléments

• Dans le paramétrage de la droite passant par A₁ et A₂, la valeur t=0 donne A₁ et la valeur t=1 donne A₂.

💡 Astuce mémo

Coordonnées affines en t → trajectoire rectiligne.