Fiche de révision : Algèbre et logique en ECT

📋 Plan du Cours

1. Ordre et inégalités dans ℝ
2. Opérations et quotients réels
3. Puissances et notation scientifique
4. Racines carrées et radicaux
5. Priorités et calcul littéral
6. Développement et factorisation
7. Équations et inéquations générales
8. Équations produits et quotients
9. Fonctions du second degré
10. Discriminant et racines
11. Signe des trinômes
12. Relations coefficients-racines

📖 1. Ordre et inégalités dans ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité stricte : Pour deux nombres réels a et b, l’inégalité stricte signifie que a ≤ b et que a ≠ b.

★ À maîtriser

• Dans ℝ, la relation d’ordre est totale : pour tous nombres réels a et b, a ≤ b ou b ≤ a.

Compléments

📌 Pour un réel a, a ≤ 0 signifie que a est négatif ou nul, tandis que a < 0 signifie que a est strictement négatif.

💡 Astuce mémo

≤ inclut l’égalité, tandis que < l’exclut

📖 2. Opérations et quotients réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient : Lorsque b ≠ 0, le quotient de a par b est le produit de a par l’inverse de b, soit $\frac{a}{b}=a\times\frac{1}{b}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité du signe moins donne $a-(b+c)=a-b-c$ et $a-(b-c)=a-b+c$.

📐 Formule — Pour b ≠ 0 et d ≠ 0, deux quotients sont égaux si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc$.

Compléments

📌 Pour additionner ou soustraire deux quotients, il faut d’abord les réduire au même dénominateur.

💡 Astuce mémo

Soustraire = ajouter l’opposé ; diviser = multiplier par l’inverse

📖 3. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, la puissance a^n est le produit de n facteurs égaux à a.
• Notation scientifique : La notation scientifique d’un nombre décimal non nul est $d=\pm a\times10^n$, avec a dans [1 ; 10[ et n entier relatif.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des puissances de même base, on a $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et, si a ≠ 0, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

Compléments

📌 Pour d = ±a × 10^n, l’ordre de grandeur vaut 10^n si a ∈ [1 ; 5[ et 10^{n+1} si a ∈ [5 ; 10[.

💡 Astuce mémo

Multiplier les puissances additionne les exposants ; diviser les soustrait

📖 4. Racines carrées et radicaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour un réel a positif ou nul, √a est l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$, soit a si a ≥ 0 et −a si a < 0.

• La racine carrée d’un réel strictement négatif n’existe pas dans ℝ.

Compléments

📌 Pour des réels positifs ou nuls a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$.

💡 Astuce mémo

√a² = |a|, et non simplement a lorsque a < 0

📖 5. Priorités et calcul littéral

★ À maîtriser

• Les calculs se font d’abord dans les parenthèses, puis sur les puissances, ensuite sur les multiplications et divisions, et enfin sur les additions et soustractions.

Compléments

📌 Dans 3 + 2 × 5, la multiplication est prioritaire et le résultat vaut 13, non 25.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions

📖 6. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Transformer un produit en une somme ou une différence.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distributivité double s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l’inverse

📖 7. Équations et inéquations générales

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une égalité contenant une ou plusieurs variables appelées inconnues.
• Résolution : Déterminer les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’égalité ou l’inégalité est vraie.

📝 Points essentiels

📌 On peut ajouter un même réel aux deux membres d’une égalité ou d’une inégalité sans changer son sens.

📌 Si a ≤ b et c ≥ 0, alors ac ≤ bc ; si a ≤ b et c ≤ 0, alors ac ≥ bc.

💡 Astuce mémo

Ajouter conserve le sens ; multiplier par un négatif l’inverse

📖 8. Équations produits et quotients

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation produit, on se ramène à zéro, on factorise, on utilise l’intégrité de ℝ, on résout les équations obtenues et on tient compte des restrictions.

📐 Formule — Pour des réels a et b, $ab=0\Longleftrightarrow a=0\text{ ou }b=0$.

📌 Un quotient d’expressions algébriques est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Compléments

📌 Pour résoudre une équation quotient, il faut déterminer les valeurs interdites, réduire l’équation puis résoudre l’équation produit ou du premier degré obtenue.

💡 Astuce mémo

Domaine → zéro → factorisation → résolution → restrictions

📖 9. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.
• Racine d’une fonction : Un réel r tel que f(r)=0.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction trinôme du second degré est une parabole tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0.

💡 Astuce mémo

Une parabole tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0

📖 10. Discriminant et racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l’équation ax²+bx+c=0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si Δ > 0, l’équation ax²+bx+c=0 possède exactement deux solutions réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

• Si Δ = 0, l’équation possède une unique solution réelle, racine double, donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si Δ < 0, l’équation ax²+bx+c=0 n’admet aucune solution réelle et le trinôme n’a aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ > 0 : deux racines ; Δ = 0 : une racine double ; Δ < 0 : aucune racine réelle

📖 11. Signe des trinômes

★ À maîtriser

📌 Si Δ > 0 et x1 < x2, un trinôme est du signe de a sur ]−∞ ; x1[ et ]x2 ; +∞[, et du signe opposé à a sur ]x1 ; x2[.

Compléments

📌 Si Δ = 0, le trinôme s’annule en x0 et est du signe strict de a sur ℝ privé de x0.

📌 Si Δ < 0, le trinôme ne s’annule pas et est du signe strict de a sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Le signe de a gouverne l’extérieur des racines et s’inverse entre elles

📖 12. Relations coefficients-racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque le discriminant est positif ou nul, les racines vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$, avec x1=x2=x0 dans le cas d’une racine double.

📐 Formule — Si Δ > 0, la forme factorisée du trinôme est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant