Fiche de révision : Algorithmes du PGCD et du PPCM

📋 Plan du Cours

1. Sens et rôle du PGCD
2. Algorithme des soustractions
3. Algorithme d’Euclide
4. Définition et propriétés du PPCM
5. Applications du PGCD et du PPCM

📖 1. Sens et rôle du PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun

📝 Points essentiels

• Pour répartir 2491 bonbons au chocolat et 1739 bonbons à la vanille en paquets identiques contenant les deux types, le nombre maximal de paquets est 47 et chaque paquet contient 53 bonbons au chocolat et 37 bonbons à la vanille.

💡 Astuce mémo

Des paquets identiques dont le nombre maximal est le PGCD

📖 2. Algorithme des soustractions

📝 Points essentiels

• L’algorithme des soustractions consiste à soustraire successivement le plus petit nombre du plus grand jusqu’à obtenir une différence nulle ; la dernière différence non nulle est le PGCD.

💡 Astuce mémo

Soustraire le plus petit au plus grand jusqu’à obtenir zéro

📖 3. Algorithme d’Euclide

📝 Points essentiels

• L’algorithme d’Euclide consiste à effectuer des divisions euclidiennes successives et à remplacer le diviseur et le reste jusqu’à obtenir un reste nul ; le dernier diviseur non nul est le PGCD.

💡 Astuce mémo

Diviser, garder le reste, recommencer jusqu’au reste nul

📖 4. Définition et propriétés du PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit de leurs multiples communs non nuls

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux entiers naturels non nuls a et b, le produit du PGCD par le PPCM est égal au produit des deux nombres : $PGCD(a,b) \times PPCM(a,b) = a \times b$.

💡 Astuce mémo

PGCD : plus grand diviseur commun ; PPCM : plus petit multiple commun

📖 5. Applications du PGCD et du PPCM

📝 Points essentiels

• Pour des rectangles de 24 cm sur 40 cm assemblés bord à bord afin de former le plus petit carré possible, le côté du carré est le PPCM de 24 et 40.

• Pour des parcelles de 1271 mm sur 1147 mm, le côté du plus petit champ carré est le PGCD des deux dimensions, soit 31 mm, et chaque champ contient 1517 parcelles.

💡 Astuce mémo

PGCD des dimensions → carré minimal et nombre de parcelles

📊 Tableaux de synthèse

Comparer PGCD et PPCM