f(x)=ax^2+bx+c avec a eq 0
Explication
Une fonction polynôme du second degré est de la forme f(x)=ax^2+bx+c avec a non nul. Les autres propositions ne sont pas des écritures générales de second degré.
Parce qu’elle n’a pas le degré 2, donc a=0
Explication
Pour être du second degré, il faut un terme en x^2 avec un coefficient non nul. Sans ce terme, le degré n’est pas 2.
a(x-b1)^2+b2 avec a eq 0
Explication
La forme canonique s’écrit a(x-b1)^2+b2 avec a non nul. C’est l’écriture qui met en évidence un carré et un reste.
À le transformer en a(x-b1)^2+b2 pour faciliter la résolution
Explication
Compléter le carré permet de réécrire ax^2+bx+c sous la forme canonique a(x-b1)^2+b2. Cela facilite ensuite la résolution et l’étude de la fonction.
La droite x=b1
Explication
Dans la forme canonique, l’axe de symétrie est la droite verticale x=b1. Le sommet a alors pour coordonnées (b1,b2).
Elle est ouverte vers le bas
Explication
Si a<0, la parabole est ouverte vers le bas et le sommet correspond à un maximum. Si a>0, elle est ouverte vers le haut.
Les réels qui annulent le polynôme
Explication
Résoudre ax^2+bx+c=0 consiste à chercher les réels qui rendent le polynôme nul. Ces valeurs sont aussi appelées racines.
Une solution unique x=1
Explication
Un carré nul impose que son contenu soit nul, donc x-1=0 et x=1. C’est le cas d’une racine double.
94=b^2-4ac
Explication
Le discriminant d’un trinôme du second degré est 94=b^2-4ac. C’est lui qui permet de connaître le nombre de solutions réelles.
L’équation admet deux racines réelles distinctes
Explication
Quand 94 est positif, l’équation ax^2+bx+c=0 possède deux solutions réelles distinctes. Si 94=0, il y a une solution double.
0
Explication
Les racines évidentes citées dans le cours sont notamment 0, 1, 2, -1 et -2. Elles servent à tester rapidement si le polynôme s’annule.
x1+x2=-b/a
Explication
La somme des deux racines distinctes vaut -b/a, tandis que leur produit vaut c/a. C’est l’une des relations de Vieta.
Il est toujours du signe de a
Explication
Si 94<0, le trinôme n’a pas de racine réelle et garde partout le signe de a. Il ne s’annule jamais.
Entre ses deux racines
Explication
Quand 94>0, le signe s’inverse entre les deux racines, donc avec a>0 le trinôme est négatif entre elles. À l’extérieur, il est positif.
ax^2+bx+c 0
Explication
Une inéquation du second degré compare un trinôme ax^2+bx+c à 0 avec , , < ou >. Elle porte donc bien sur un polynôme de degré 2.
[c2/2,2]
Explication
Le trinôme se factorise à partir des racines -3/2 et 2, et comme a>0 l’expression est =0 entre ces deux valeurs. On obtient donc l’intervalle fermé [ -3/2, 2 ].
f(x)-g(x)
Explication
La position relative de deux courbes se détermine en étudiant le signe de f(x)-g(x). Son signe indique quelle courbe est au-dessus de l’autre.
Les abscisses des points d’intersection
Explication
Les solutions de f(x)=g(x) correspondent aux points où les deux courbes se coupent. Ce sont donc les abscisses des points d’intersection.
Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Analyse des fonctions polynômes du second degré.
Fonction polynôme du second degré — définition ?
Fonction de la forme $ax^2+bx+c$, avec $a eq 0$.
Trinôme du second degré — expression ?
Somme de trois monômes : $ax^2+bx+c$.
Coefficients $a,b,c$ — rôle ?
Déterminent la forme et le graphique du polynôme.
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