Gottfried Wilhelm Leibniz
Explication
La règle de dérivation du produit, souvent appelée règle de Leibniz, est attribuée à Gottfried Wilhelm Leibniz, qui l'a formulée dans le cadre du développement du calcul différentiel.
La présence d’un point anguleux ou d’une demi-tangente verticale
Explication
Les points anguleux ou une demi-tangente verticale empêchent l’existence d’une limite finie du taux de variation, rendant la fonction non dérivable en ce point.
Une dérivée nulle indique que la fonction est constante.
Explication
Une dérivée nulle indique que la fonction est constante ou a un point critique, une dérivée positive indique que la fonction est croissante, et une dérivée négative indique qu'elle est décroissante. Le signe de la dérivée est donc directement lié à la tendance de la fonction.
Calculer la dérivée en ce point, puis utiliser la formule y = f'(a)(x - a) + f(a) pour écrire l'équation de la tangente.
Explication
L'application concrète de la concept de tangente à la courbe en un point consiste à calculer la dérivée en ce point, qui donne la pente de la tangente, puis à utiliser la formule y = f'(a)(x - a) + f(a) pour écrire l'équation de cette tangente. La première option décrit précisément cette démarche.
La formule de la somme consiste à additionner les dérivées, tandis que celle du produit utilise la règle du produit impliquant un produit et une somme.
Explication
La formule de la somme de dérivées est (u + v)' = u' + v', ce qui consiste à additionner les dérivées de deux fonctions. La formule du produit, (uv)' = u'v + uv', utilise la règle du produit, impliquant un produit et une somme. La différence réside dans leur structure et leur objectif : l'une dérive la somme, l'autre dérive le produit.
La limite du taux de variation quand h tend vers zéro, c'est-à-dire la pente de la tangente à la courbe en ce point
Explication
La dérivée en un point est définie comme la limite du taux de variation lorsque h tend vers zéro, ce qui correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point. C'est une mesure du changement instantané de la fonction à cet endroit.
Au début du XIXe siècle, vers 1820-1830
Explication
Augustin-Louis Cauchy a publié la définition rigoureuse de la dérivée en utilisant la limite du taux de variation dans les années 1820-1830. Cette formalisation a marqué une étape clé dans l'Analyse, permettant de préciser la notion de dérivée comme limite.
Une fonction croissante est celle dont la courbe monte, une décroissante descend, et une constante reste horizontale.
Explication
La définition d'une fonction croissante, décroissante ou constante repose sur la relation entre ses valeurs pour des entrées ordonnées : une fonction croissante ne diminue pas, une décroissante ne monte pas, et une constante ne varie pas. La réponse 0 reflète cette définition précise.
Mesurer la pente de la courbe à ce point
Explication
La dérivée en un point donne la pente de la tangente à la courbe en ce point, ce qui représente le taux de variation instantané ou la vitesse locale de la fonction à cet endroit.
(f(b) - f(a)) / (b - a)
Explication
La formule du taux de variation entre deux points a et b d'une fonction f est (f(b) - f(a)) / (b - a). Elle représente la pente moyenne de la fonction sur l'intervalle [a, b], ce qui est une définition fondamentale du taux de variation.
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Fonction croissante — définition ?
f(x) augmente quand x augmente.
Fonction décroissante — définition ?
f(x) diminue quand x augmente.
Fonction constante — définition ?
f(x) reste identique pour tous x.
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