Fiche de révision : Analyse des variations et dérivées de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Variations fonctions
2. Taux de variation
3. Dérivée en un point
4. Fonctions dérivables
5. Formules de dérivation
6. Opérations sur fonctions
7. Signe de la dérivée
8. Tangente à la courbe
9. Fonctions non dérivables
10. Signification de la dérivée

📖 1. Variations fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : f est croissante si, pour tous xA ≤ xB, f(xA) ≤ f(xB).
  Interprétation graphique : la courbe monte.
  (voir section 1)

• Fonction décroissante : f est décroissante si, pour tous xA ≤ xB, f(xA) ≥ f(xB).
  Interprétation graphique : la courbe descend.
  (voir section 1)

• Fonction constante : f est constante si, pour tous xA, xB, f(xA) = f(xB).
  Interprétation graphique : la courbe est horizontale.
  (voir section 1)

📝 Points essentiels

• La définition d'une fonction croissante repose sur l'ordre des images : si l'entrée xA est inférieure ou égale à xB, alors la valeur f(xA) ne dépasse pas f(xB).
• La fonction décroissante inverse cette relation : si xA ≤ xB, alors f(xA) ≥ f(xB).
• La fonction constante est une particularité où toutes les images sont identiques, ce qui correspond à une courbe horizontale.
• La représentation graphique facilite la compréhension : une fonction croissante voit sa courbe monter, une décroissante la voit descendre, et une constante reste horizontale.
• Ces notions permettent d'étudier le comportement local et global des fonctions, en lien avec leur dérivabilité (voir section 6 et 7).

💡 À retenir

Une fonction est croissante, décroissante ou constante selon le sens de variation de ses valeurs en fonction de l'entrée, ce qui se traduit graphiquement par une montée, une descente ou une horizontale.

📖 2. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : rapport entre la variation de la valeur d'une fonction entre deux points et la variation de leur abscisse, soit $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
  Interprétation : coefficient directeur de la droite passant par les points d'abscisses $a$ et $b$ sur la courbe.
  Synonymes : taux d'accroissement, accroissement moyen.

• Coefficient directeur : pente d'une droite, ici celle passant par deux points de la courbe, représentant le taux de variation entre ces deux points.

• Interprétation géométrique : le taux de variation correspond à la pente de la droite qui relie deux points de la courbe, ce qui donne une idée de la "montée" ou "descente" moyenne entre ces deux points.

📝 Points essentiels

• La formule du taux de variation entre deux points $a$ et $b$ d'une fonction $f$ est :
  $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
• Il s'agit d'une mesure moyenne de la variation de la fonction sur l'intervalle $[a, b]$.
• La notion de taux de variation est fondamentale pour comprendre la variation globale d'une fonction entre deux points, avant d'étudier la variation locale via la dérivée (voir section 3).
• La définition insiste sur l'interprétation géométrique : c'est le coefficient directeur de la droite passant par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.
• La notion de "taux d'accroissement" ou "accroissement moyen" est un synonyme couramment utilisé.

💡 À retenir

Le taux de variation entre deux points est une mesure moyenne de la pente de la fonction sur cet intervalle, représentée par le coefficient directeur de la droite qui relie ces deux points.

📖 3. Dérivée en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé f'(a) : limite du taux de variation quand h tend vers 0, défini par
  f'(a) = lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h
  (voir section 4)

• Interprétation géométrique : le nombre dérivé en un point a représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse a.

• Condition d'existence du nombre dérivé : la limite lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h doit exister et être finie pour que f soit dérivable en a.

📝 Points essentiels

• La définition du nombre dérivé en un point a repose sur la limite du taux de variation lorsque h → 0, ce qui permet de mesurer la pente instantanée de la courbe en ce point (voir section 4).
• La limite doit être finie pour que la dérivée existe ; si cette limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en ce point (voir section 9).
• La dérivée en un point est aussi la pente de la tangente à la courbe en ce point, ce qui relie la notion de dérivée à une interprétation géométrique claire.
• La condition d'existence implique que la limite du taux de variation doit être indépendante du sens par lequel h tend vers 0 (limite à gauche et à droite identiques).
• La dérivée en un point peut être calculée par la formule :
  f'(a) = lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h (voir section 4).

💡 À retenir

La dérivée en un point est la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, représentant la pente instantanée de la courbe au point considéré, sous réserve que cette limite existe et soit finie.

📖 4. Fonctions dérivables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable en un point a : Une fonction f est dérivable en a si le nombre dérivé f'(a) existe, c’est-à-dire si la limite du taux de variation lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h existe et est finie. (source : définition générale)

• Exemple de fonction dérivable : La fonction f(x) = x² est dérivable en tout point de ℝ, avec f'(x) = 2x. La fonction constante f(x) = k (k ∈ ℝ) est dérivable partout, avec dérivée nulle. La fonction affine f(x) = ax + b est dérivable partout, avec dérivée constante a. La fonction puissance xⁿ (n ∈ ℤ) est dérivable en tout x ≠ 0 si n < 0, sauf si n = 0, 1, 2, etc. (source : fonctions de référence)

• Fonctions de référence dérivables :

  • Affine : f(x) = ax + b, dérivée : f'(x) = a
  • Constante : f(x) = k, dérivée : f'(x) = 0
  • Carré : f(x) = x², dérivée : f'(x) = 2x
  • Cube : f(x) = x³, dérivée : f'(x) = 3x²
  • Puissance : f(x) = xⁿ, dérivée : f'(x) = nxⁿ⁻¹
  • Inverse : f(x) = 1/x, dérivée : f'(x) = -1/x²
  • Racine carrée : f(x) = √x, dérivée : f'(x) = 1 / (2√x)

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point a implique l’existence du nombre dérivé f'(a), qui correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. La limite du taux de variation lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h doit exister et être finie.
• Les fonctions de référence telles que affine, constante, carré, cube, puissance, inverse, et racine carrée ont des dérivées bien connues, permettant leur utilisation comme fonctions de base pour dériver des fonctions plus complexes.
• La dérivée d’une fonction peut être calculée par des formules spécifiques (voir section 5) ou par des opérations sur fonctions (voir section 6).

💡 À retenir

Une fonction est dérivable en un point si le taux de variation instantané existe, ce qui correspond à la pente de la tangente en ce point, et ses dérivées de référence permettent de dériver rapidement des fonctions courantes.

📖 5. Formules de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de dérivée d'une somme : Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors
  $(u + v)' = u' + v'$
  (voir Formules de dérivation sur opérations sur fonctions).

• Formule de dérivée d'un produit : Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors
  $(uv)' = u'v + uv'$
  (voir Formules de dérivation sur opérations sur fonctions).

• Formule de dérivée d'un quotient : Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors
  $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  (voir Formules de dérivation sur opérations sur fonctions).

• Formule de dérivée d'une composition : Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors
  $(u \circ v)' = (u' \circ v) \times v'$
  (voir Formules de dérivation sur opérations sur fonctions).

• Cas particuliers :

  • Dérivée de $u^n$ : $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ (voir Tableaux de référence).
  • Dérivée de $\sqrt{u}$ : $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $(u + v)' = u' + v'$.
• La dérivée du produit u v utilise la formule : $(uv)' = u'v + uv'$.
• La dérivée du quotient u/v est donnée par : $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• La dérivée d'une composition u(v(x)) s'exprime par : $(u \circ v)' = (u' \circ v) \times v'$.
• Les dérivées de fonctions de référence comme $u^n$ et $\sqrt{u}$ sont des cas particuliers importants pour simplifier les calculs.

💡 À retenir

Les formules de dérivation pour les opérations sur fonctions permettent de calculer facilement la dérivée de fonctions composées ou combinées, en utilisant des règles simples et des cas particuliers essentiels.

📖 6. Opérations sur fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de fonctions : La somme de deux fonctions u et v, notée (u + v), est définie par (u + v)(x) = u(x) + v(x).
• Soustraction de fonctions : La différence de deux fonctions u et v, notée (u - v), est définie par (u - v)(x) = u(x) - v(x).
• Multiplication de fonctions : Le produit de deux fonctions u et v, noté (u × v), est défini par (u × v)(x) = u(x) × v(x).
• Division de fonctions : Le quotient de deux fonctions u et v, noté (u ÷ v) ou (u / v), est défini par (u / v)(x) = u(x) / v(x), à condition que v(x) ≠ 0.
• Composition de fonctions : La composition de deux fonctions u et v, notée (u o v), est définie par (u o v)(x) = u(v(x)), c’est-à-dire l’image de v(x) par u.

📝 Points essentiels

Les opérations sur fonctions permettent de construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions de référence. La somme et la différence se font point par point, tandis que la multiplication et la division combinent les valeurs de u et v. La composition, quant à elle, consiste à appliquer une fonction à l’image d’une autre.

Exemples d’expressions fonctionnelles combinant ces opérations :

• (u + v)(x) = u(x) + v(x)
• (u - v)(x) = u(x) - v(x)
• (u × v)(x) = u(x) × v(x)
• (u ÷ v)(x) = u(x) / v(x) (vérifier que v(x) ≠ 0)
• (u o v)(x) = u(v(x))

Les fonctions u et v dans ces opérations sont identifiées par leur expression ou leur notation, selon le contexte. La composition est une opération particulière où u est appliquée à l’image de v(x).

💡 À retenir

Les opérations sur fonctions (addition, soustraction, multiplication, division, composition) permettent de combiner et de créer de nouvelles fonctions à partir de fonctions de référence, en respectant leurs définitions et conditions d’application.

📖 7. Signe de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

FONCTION CROISSANTE (voir section 1) :
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous xA, xB ∈ I, avec xA ≤ xB, on a f(xA) ≤ f(xB).
Lien avec la dérivée : Si f est dérivable sur I, alors f'(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I implique que f est croissante sur I.

FONCTION DÉCROISSANTE (voir section 1) :
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous xA, xB ∈ I, avec xA ≤ xB, on a f(xA) ≥ f(xB).
Lien avec la dérivée : Si f est dérivable sur I, alors f'(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I implique que f est décroissante sur I.

FONCTION CONSTANTE (voir section 1) :
Une fonction f est constante sur un intervalle I si, pour tous xA, xB ∈ I, on a f(xA) = f(xB).
Lien avec la dérivée : Si f est dérivable sur I, alors f'(x) = 0 pour tout x ∈ I implique que f est constante sur I.

Théorème (voir critique) :

• Si f'(x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I.
• Si f'(x) ≤ 0 sur I, alors f est décroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

📝 Points essentiels

• Le signe de la dérivée f'(x) indique la nature des variations locales de la fonction : positive pour une croissance, négative pour une décroissance, nulle pour une stabilité (constante).
• La relation entre le signe de la dérivée et la variation de la fonction est un théorème fondamental : f'(x) ≥ 0 ⇔ f est croissante, f'(x) ≤ 0 ⇔ f est décroissante, f'(x) = 0 ⇔ f est constante (voir critique).
• La dérivée en un point donne le taux de variation instantané, et son signe permet d’établir la tendance générale de la fonction sur un intervalle.

💡 À retenir

Le signe de la dérivée d'une fonction permet de déterminer si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle, selon le théorème : f'(x) ≥ 0 ⇔ f est croissante, f'(x) ≤ 0 ⇔ f est décroissante, et f'(x) = 0 ⇔ f est constante.

📖 8. Tangente à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à la courbe au point d'abscisse a : Droite qui touche la courbe en un seul point sans la couper localement, représentant la direction instantanée de la courbe en ce point.

• Équation de la tangente : La droite tangentielle à la courbe en a a pour équation :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
  où $f'(a)$ est le nombre dérivé en a, et $\left(a, f(a)\right)$ le point de tangence.

• Interprétation du coefficient directeur comme nombre dérivé :
  PERROUX (date) : le coefficient directeur de la tangente à la courbe en a est égal au nombre dérivé $f'(a)$, c’est-à-dire la pente instantanée de la courbe en ce point.

• Calcul d’une équation de tangente pour une fonction donnée :

  1. Calculer $f'(a)$ (dérivée en a).
  2. Connaître le point $A(a, f(a))$.
  3. Insérer dans la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

📝 Points essentiels

• La tangente à la courbe en un point a est la droite qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé $f'(a)$.
• La formule de l’équation de la tangente est dérivée du développement en série de Taylor de la fonction en a, en négligeant les termes d’ordre supérieur.
• La tangente représente la direction instantanée de la courbe en a, ce qui permet d’étudier le comportement local de la fonction.
• Exemple : Pour $f : x \to 1/x$, la tangente en $a = -2$ est donnée par $y = f'(-2)(x + 2) + f(-2)$, avec $f'(-2) = -1/4$ et $f(-2) = -1/2$.
• La dérivée en a, $f'(a)$, est la pente de la tangente, ce qui relie directement la calculabilité analytique à l’interprétation géométrique.

💡 À retenir

L’équation de la tangente à la courbe en un point a est donnée par $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, où le coefficient directeur $f'(a)$ est la pente instantanée de la courbe en ce point, ce qui relie la dérivation à la géométrie.

📖 9. Fonctions non dérivables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée en 0 : La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $x=0$ car la limite du taux de variation en ce point n’existe pas ou est infinie, notamment à cause de la demi-tangente verticale en 0.

• Fonction valeur absolue en 0 : La fonction $f(x) = |x|$ n’est pas dérivable en $x=0$ car la limite du taux de variation à gauche et à droite diffère, créant un point anguleux (voir définition).

• Point anguleux : Un point où la courbe présente un "angle" ou "coin" (ex : $x=0$ pour $f(x) = |x|$), caractérisé par une demi-tangente verticale ou une discontinuité dans la pente, empêchant l’existence de la limite du taux de variation.

• Demi-tangente verticale : Situation où la limite du taux de variation tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, par exemple en $x=0$ pour $f(x) = \sqrt{x}$, ce qui rend la dérivée inexistante en ce point.

• Condition de non-dérivabilité : La limite du taux de variation $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ n’existe pas ou est infinie, ce qui empêche la dérivabilité en ce point.

📝 Points essentiels

• La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est définie sur $[0, +\infty[$ mais non dérivable en $x=0$ en raison d’une demi-tangente verticale. La limite du taux de variation en ce point tend vers $+\infty$.

• La fonction $f(x) = |x|$ possède un point anguleux en $x=0$. La limite du taux de variation à gauche ($h \to 0^-$) est $-1$, tandis qu’à droite ($h \to 0^+$) elle est $+1$. La limite globale n’existe pas, donc $f$ n’est pas dérivable en 0.

• La dérivabilité en un point requiert que la limite du taux de variation existe et soit finie. Si cette limite est infinie ou n’existe pas, la fonction n’est pas dérivable en ce point.

• La présence d’un point anguleux ou d’une demi-tangente verticale est une cause fréquente de non-dérivabilité (voir aussi "définition" dans la section 3).

💡 À retenir

Une fonction est non dérivable en un point si la limite du taux de variation n’existe pas ou tend vers l’infini, souvent à cause d’un point anguleux ou d’une demi-tangente verticale.

📖 10. Signification de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Interprétation de la dérivée comme taux de variation instantané : La dérivée en un point a représente la vitesse ou le rythme auquel la fonction change à cet instant précis, c’est-à-dire la variation infinitésimale de la valeur de la fonction par rapport à la variation de l’entrée.

• Signification géométrique : pente de la tangente à la courbe : La dérivée en un point a correspond au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de la fonction en ce point. Elle indique si la courbe monte ou descend localement.

• Utilisation de la dérivée pour étudier les variations locales de la fonction : La dérivée permet de déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante dans un voisinage d’un point, en analysant le signe de la dérivée (voir section 7).

📝 Points essentiels

• La dérivée en un point a, f'(a), est définie comme la limite du taux de variation moyen quand l’intervalle tend vers zéro :
  f'(a) = lim h→0 (f(a+h) - f(a)) / h (voir section 3).
  Elle représente le taux de variation instantané, c’est-à-dire la vitesse de changement de la fonction à cet instant précis.

• La signification géométrique de la dérivée est qu’elle donne la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point (voir section 8). La tangente est la droite qui touche la courbe en un seul point et qui a la même direction que la courbe en ce point.

• La dérivée est un outil pour analyser le comportement local de la fonction : si f'(a) > 0, la fonction est croissante près de a ; si f'(a) < 0, elle est décroissante ; si f'(a) = 0, la fonction peut être constante ou avoir un point critique (voir section 7).

• La dérivée permet aussi d’étudier la concavité et les points d’inflexion, en analysant la dérivée seconde (voir autres sections).

💡 À retenir

La dérivée d’une fonction en un point mesure la vitesse de variation instantanée et correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point, permettant d’étudier localement le comportement de la fonction.

📊 Tableau de synthèse comparatif : Dérivées et opérations sur fonctions

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la dérivée d'une somme avec la somme des dérivées.
2. Oublier la règle du produit ou du quotient, menant à des erreurs de signe ou de formule.
3. Confondre la dérivée d'une composition avec la dérivée d'une somme ou d'un produit.
4. Négliger la condition de dérivabilité pour appliquer certaines formules (ex : racine carrée en 0).
5. Confondre la limite du taux de variation (lim h→0) et la valeur de la dérivée.
6. Utiliser la formule de dérivée d'une puissance sans vérifier la forme de u (ex : u(x) ≠ 0 pour uⁿ).
7. Oublier que la dérivée d'une fonction constante est nulle, pas variable.

✅ Checklist d'examen

1. Connaître la définition de la croissance, décroissance et constance d'une fonction (section 1).
2. Savoir calculer le taux de variation entre deux points et interpréter géométriquement (section 2).
3. Maîtriser la limite du taux de variation pour définir la dérivée en un point (section 3).
4. Identifier si une fonction est dérivable en un point ou partout, en utilisant les exemples classiques (section 4).
5. Connaître et appliquer les formules de dérivation : somme, produit, quotient, composition (section 5).
6. Savoir dériver des fonctions usuelles : constantes, affines, carrés, racines, inverses (section 4).
7. Comprendre l'interprétation géométrique de la dérivée : pente de la tangente (section 3).
8. Identifier les fonctions non dérivables (ex : point anguleux, discontinuités) (section 9).
9. Vérifier le signe de la dérivée pour déterminer le sens de variation (section 1).
10. Savoir comment la dérivée influence la forme de la courbe (section 6 et 7).
11. Connaître la définition et l'interprétation du signe de la dérivée (section 6).
12. Maîtriser la signification de la dérivée : vitesse instantanée, pente de la tangente (section 3).