Flashcards : Anneaux et spectre de Zariski (87 cartes)

Quelles propriétés définissent une relation d’équivalence sur un ensemble ?

Comment définir la classe d’équivalence de l’élément $x$ ?

Quel ensemble forment les classes d’équivalence associées à $R$ sur $E$ ?

Quelle application canonique intervient dans la factorisation de $f$ par $xRy \text{ si } f(x)=f(y)$ ?

Quelle condition caractérise un sous-groupe distingué H de G ?

Quand la loi quotient sur $G/H$ est-elle bien définie ?

Quelle structure possède $G/H$ lorsque $H$ est distingué dans $G$ ?

Quand le quotient $G/H$ est-il abélien, si $H$ est distingué ?

Quel isomorphisme donne le premier théorème d’isomorphisme pour $f:G\to G'$ ?

Quelles structures définissent un anneau ?

Quelles opérations un morphisme d’anneaux préserve-t-il ?

Quelle condition définit l’inversibilité d’un élément $u$ d’un anneau ?

Quelle structure forment les éléments inversibles d’un anneau ?

Qu'est-ce qu'un A-module ?

Quelles propriétés possède l'anneau A[X] lorsqu'A est commutatif ?

À quel sous-anneau de A[X] s'identifie A ?

Comment définit-on un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif $A$ ?

Comment note-t-on l’ensemble des polynômes à coefficients dans $A$ ?

Comment calcule-t-on le coefficient de degré $k$ du produit de $P$ et $Q$ ?

À quels polynômes l’injection canonique de $A$ dans $A[X]$ identifie-t-elle les éléments de $A$ ?

Quelle est la forme unique d’un polynôme $P$ dans $A[X]$ ?

Comment définit-on le degré d’un polynôme non nul ?

Quelle majoration vérifie le degré du produit de deux polynômes ?

Quelles stabilités caractérisent un idéal bilatère de l’anneau A ?

Comment les opérations de l’anneau quotient R/I sont-elles définies ?

Quelle est la nature de la projection canonique de R vers R/I ?

Que forme le noyau d’un morphisme d’anneaux sur son anneau de départ ?

Quel sous-anneau l’image de f forme-t-elle dans S ?

À quel anneau Im(f) l’anneau quotient R/ker(f) est-il isomorphe ?

Quand un idéal I d’un anneau commutatif A est-il principal ?

Quand un idéal propre $\mathfrak p$ d’un anneau commutatif $R$ est-il premier ?

Quelles conditions définissent un anneau commutatif intègre $R$ ?

Quelle est la forme de tout idéal de ℤ ?

Quelle identité relie nℤ + mℤ au pgcd de n et m ?

Quelle combinaison de n et m exprime leur pgcd ?

Comment se décompose de façon unique un entier n différent de −1, 0 et 1 ?

Qu’est-ce qui détermine de façon unique un morphisme f : A[X] → B ?

Comment calcule-t-on f(∑aᵢXⁱ) à partir de f|A et β = f(X) ?

Que devient l’inverse a⁻¹ par un morphisme d’anneaux f ?

Quel est le noyau d’un morphisme d’anneaux entre deux corps ?

Quel morphisme d’anneaux de ℚ dans ℚ existe-t-il ?

Quel morphisme de ℝ dans ℝ est l’unique morphisme d’anneaux ?

Quel morphisme de ℂ dans ℂ fixant ℝ peut différer de l’identité ?

Quels sont les inversibles de l’anneau $\mathbb{Z}[i]$ ?

Quelle est la norme de $a+b\sqrt{2}$ dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ?

Quels sont les inversibles de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ?

Quelle propriété d’inversibilité caractérise le corps non commutatif $H$ ?

Quelle propriété de multiplication distingue le corps $H$ ?

Qu’est-ce qu’un idéal maximal de R ?

Que possède tout anneau non nul ?

À quelle condition un idéal m de A est-il maximal ?

Qu’est-ce que le corps résiduel d’un anneau local A ?

Quel résultat le théorème de la base de Hilbert attribue-t-il à Hilbert ?

Comment caractérise-t-on les éléments du nilradical $\operatorname{Nil}(A)$ ?

À quelle intersection d’idéaux premiers le nilradical $\operatorname{Nil}(A)$ est-il égal ?

Que désigne le spectre $\operatorname{Spec}(A)$ d’un anneau ?

Quels idéaux premiers appartiennent à $V(I)$ ?

Quelle union décrit $V(I\cap J)$ et $V(IJ)$ ?

Quel lien existe entre deux classes d’équivalence d’une même relation ?

Que forment les classes d’équivalence sur l’ensemble de départ ?

Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?

Qu’impose le lemme de Zorn à un ensemble ordonné non vide où toute chaîne admet un majorant ?

Quelle propriété possède le noyau d’un homomorphisme de groupes ?

Que divise l’ordre de H si G est fini et H est un sous-groupe de G ?

Que divise l’ordre de tout élément d’un groupe fini G ?

Quelle propriété caractérise la multiplication d’un anneau commutatif ?

Pour quelles tailles l’anneau des matrices carrées sur ℝ est-il non commutatif ?

Que devient l’image d’un élément inversible par un morphisme d’anneaux ?

Quelle formule donne le binôme de Newton dans un anneau commutatif ?

Comment s'exprime le coefficient de degré k du produit de deux polynômes a et b ?

À quelle condition un polynôme non nul est-il unitaire ?

Comment définit-on le produit IJ de deux idéaux d’un anneau commutatif A ?

Qu’est-ce qu’un diviseur de zéro non nul $a$ dans un anneau commutatif ?

Quand un élément $x$ d’un anneau est-il nilpotent ?

Pourquoi la classe de 2 est-elle un diviseur de zéro dans $\mathbb Z/6\mathbb Z$ ?

Que déduit-on dans ℤ si un nombre premier p divise ab ?

Que vaut l’évaluation de φ en a dans l’application f_a ?

Quelle est l’image des inversibles de ℤ par la projection vers ℤ/5ℤ ?

Que vaut la norme de $a+ib$ dans l’anneau $\mathbb{Z}[i]$ ?

Que vaut la norme de $a+jb$ dans l’anneau $\mathbb{Z}[j]$ ?

Comment caractérise-t-on l’anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ?

Que devient l’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux ?

Sous quelle condition l’image d’un idéal par un morphisme est-elle un idéal ?

Comment définit-on le radical de Jacobson Rad(A) ?

Quand un idéal premier est-il minimal au-dessus de $I$ ?

Quand un idéal premier est-il minimal dans $A$ ?

Comment définit-on l’ouvert principal $D(f)$ pour $f\in A$ ?