QCM : Anneaux et spectre de Zariski (64 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une relation d’équivalence sur un ensemble ?

Elle est réflexive, symétrique et transitive.
Elle est réflexive, antisymétrique et totale.
Elle est symétrique, transitive et totale.
Elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

Explication

Une relation d’équivalence satisfait les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité. L’antisymétrie est une propriété caractéristique des relations d’ordre, et non une exigence pour une équivalence.

2. Pour une relation d’équivalence R sur E, que désigne la classe d’équivalence de x et comment forme-t-elle le quotient ?

L’ensemble des éléments équivalents à un représentant choisi ; le quotient est l’ensemble de ces représentants.
L’ensemble des éléments en relation avec x ; toutes ces classes constituent E/R.
L’ensemble des éléments distincts de x ; ces ensembles constituent E/R.
L’ensemble des éléments qui ne sont pas en relation avec x ; ces ensembles constituent E/R.

L’ensemble des éléments en relation avec x ; toutes ces classes constituent E/R.

Explication

La classe de x rassemble exactement les éléments de E en relation avec x, et l’ensemble des classes est le quotient E/R. Le quotient est formé de classes, pas de représentants choisis.

3. Pour une application f:E→F, on définit xRy par f(x)=f(y). Quelle factorisation de f cette relation permet-elle ?

Une bijection de E vers E/R suivie d’une injection de E/R vers f(E).
La surjection canonique E→E/R suivie d’une application surjective de E/R vers F.
Une injection canonique E→E/R suivie d’une surjection de E/R vers f(E).
La surjection canonique E→E/R suivie d’une application injective de E/R vers f(E).

La surjection canonique E→E/R suivie d’une application injective de E/R vers f(E).

Explication

La relation regroupe les éléments ayant la même image par f, ce qui permet de définir une application injective du quotient vers l’image de f après la surjection canonique. La surjection obtenue en premier va de E vers E/R, et non l’inverse.

4. Quand un sous-groupe H d’un groupe G est-il distingué ?

Lorsque H est abélien et inclus dans G.
Lorsque gH=H pour tout g∈G.
Lorsque chaque élément de H commute avec chaque élément de G.
Lorsque gH=Hg pour tout g∈G.

Lorsque gH=Hg pour tout g∈G.

Explication

La distinction est caractérisée par l’égalité des classes latérales gH et Hg pour tout élément g de G. La commutation de chaque élément de H avec tout G est une condition plus forte que nécessaire.

5. Quand la formule (xH)(yH)=(xy)H(xH)(yH)=(xy)H définit-elle une loi de groupe bien définie sur G/H ?

Lorsque G est abélien, quelle que soit la nature de H.
Dès que H est un sous-groupe de G, qu’il soit distingué ou non.
Lorsque H est un sous-groupe distingué de G.
Lorsque chaque classe de G/H contient un nombre fini d’éléments.

Lorsque H est un sous-groupe distingué de G.

Explication

Cette loi sur les classes est bien définie si et seulement si H est distingué dans G. Les classes existent pour tout sous-groupe, mais leur existence ne garantit pas que la formule fournisse une loi de groupe.

6. Si H est distingué dans G et que G est abélien, quelle propriété possède le groupe quotient G/H ?

Il est isomorphe à H.
Il est nécessairement fini.
Il est abélien.
Il est nécessairement cyclique.

Il est abélien.

Explication

Un sous-groupe distingué permet de former le groupe quotient, qui est abélien lorsque G l’est. Le caractère abélien n’impose ni que le quotient soit cyclique, ni qu’il soit fini.

7. Pour un homomorphisme de groupes f:G→G′, à quel groupe le quotient G/ker f est-il isomorphe ?

À l’image Im(f).
Au noyau ker f.
Au groupe de départ G.
Au groupe d’arrivée G′ dans son intégralité.

À l’image Im(f).

Explication

Le premier théorème d’isomorphisme identifie le quotient de G par le noyau de f à l’image de f. Le groupe d’arrivée entier n’est pas nécessairement égal à cette image.

8. Quelles structures et propriétés définissent un anneau dans la convention considérée ici ?

Une addition et une multiplication formant chacune un groupe abélien, avec distributivité.
Une addition formant un groupe abélien et une multiplication associative avec unité, distributive sur l’addition.
Une addition formant un groupe non nécessairement abélien et une multiplication commutative avec unité.
Une addition formant un groupe abélien et une multiplication associative sans unité, distributive sur l’addition.

Une addition formant un groupe abélien et une multiplication associative avec unité, distributive sur l’addition.

Explication

L’addition doit former un groupe abélien, tandis que la multiplication est associative, possède une unité et est distributive par rapport à l’addition. La commutativité de la multiplication n’est pas requise pour tout anneau.

9. Quelles opérations un morphisme d’anneaux doit-il préserver ?

L’addition et la multiplication, sans condition sur l’unité.
L’addition et l’unité, sans condition sur la multiplication.
L’addition, la multiplication et l’unité multiplicative.
La multiplication et l’unité, sans condition sur l’addition.

L’addition, la multiplication et l’unité multiplicative.

Explication

Un morphisme d’anneaux préserve les deux opérations ainsi que l’unité multiplicative, donc il envoie 1 sur 1. Préserver l’addition et la multiplication sans préserver l’unité ne suffit pas.

10. Quelle condition définit un élément inversible u d’un anneau, et quelle structure forment les éléments inversibles ?

Il existe v tel qu'u+v=0 ; les éléments inversibles forment un groupe multiplicatif.
Il existe v tel qu'uv=vu=0 ; les éléments inversibles forment un groupe multiplicatif.
Il existe v tel qu'uv=vu=1 ; les éléments inversibles forment un groupe multiplicatif.
Il existe v tel qu'uv=1 ; les éléments inversibles forment un groupe additif.

Il existe v tel qu'uv=vu=1 ; les éléments inversibles forment un groupe multiplicatif.

Explication

Un élément inversible possède un inverse multiplicatif bilatéral v, tel qu'uv=vu=1, et les éléments inversibles forment un groupe pour la multiplication. La condition u+v=0 définit plutôt un opposé additif.

11. Quelle structure définit un A-module ?

Un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication externe sans condition de compatibilité avec A.
Un groupe abélien muni d’une multiplication interne qui remplace le produit des éléments de A.
Un anneau commutatif dont les éléments agissent sur A par multiplication interne.
Un groupe abélien muni d’une multiplication externe par les éléments de A, compatible avec les opérations et l’unité.

Un groupe abélien muni d’une multiplication externe par les éléments de A, compatible avec les opérations et l’unité.

Explication

Un A-module est un groupe abélien sur lequel les éléments de A agissent par multiplication externe, avec les compatibilités requises, notamment avec l’unité. Un groupe muni d’une multiplication interne n’est pas, par cela seul, un A-module.

12. Comment l’anneau A s’identifie-t-il dans l’anneau commutatif unitaire A[X] ?

Comme le sous-anneau engendré par la seule indéterminée X.
Comme le sous-groupe des polynômes dont le terme constant est nul.
Comme le sous-anneau des polynômes de degré exactement un.
Comme le sous-anneau des polynômes constants.

Comme le sous-anneau des polynômes constants.

Explication

Les éléments de A correspondent aux polynômes constants de A[X], qui est un anneau commutatif et unitaire. Les polynômes de degré un ne représentent pas l’identification de A dans A[X].

13. Quelle propriété caractérise les suites qui représentent les éléments de A[X] ?

Leurs termes sont nuls sauf à un indice fixé.
Tous leurs termes sont non nuls à partir d’un certain indice.
Leurs termes sont des éléments distincts de A.
Tous leurs termes sont nuls sauf un nombre fini.

Tous leurs termes sont nuls sauf un nombre fini.

Explication

Un polynôme correspond à une suite d’éléments de A dont seul un nombre fini de termes sont non nuls. Une suite qui devient non nulle à partir d’un certain indice ne satisfait pas cette condition.

14. Si P=∑iaiXiP=\sum_i a_iX^i et Q=∑ibiXiQ=\sum_i b_iX^i, quelle expression donne le coefficient de degré kk dans PQPQ ?

∑i=0kai+bk−i\sum_{i=0}^{k}a_i+b_{k-i}
∑i=0kak−ibk−i\sum_{i=0}^{k}a_{k-i} b_{k-i}
∑i=0kaibk−i\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}
∑i=0kaibi\sum_{i=0}^{k}a_i b_i

$$\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}$$

Explication

Pour obtenir le terme de degré k dans le produit, on additionne les produits des coefficients dont les indices ont pour somme k. Additionner les coefficients d’indices identiques ne tient pas compte de toutes les paires d’indices requises.

15. Quel est le degré du polynôme nul selon la convention adoptée ?

00
Il n’est pas défini par une convention.
11
−∞-\infty

$$-\infty$$

Explication

Le degré du polynôme nul est fixé à −∞-\infty, tandis que le degré d’un polynôme non nul est le plus grand indice associé à un coefficient non nul. Lui attribuer le degré zéro ne respecte pas cette convention.

16. Dans un anneau commutatif, quand a-t-on d(PQ)=d(P)+d(Q)d(PQ)=d(P)+d(Q) pour deux polynômes non nuls ?

Lorsque le produit de leurs coefficients dominants est non nul.
Lorsque l’un des polynômes a un terme constant non nul.
Lorsque leurs degrés sont égaux et que leurs coefficients dominants sont distincts.
Lorsque leur somme a un degré supérieur à chacun de leurs degrés.

Lorsque le produit de leurs coefficients dominants est non nul.

Explication

Le degré du produit est égal à la somme des degrés lorsque le produit des coefficients dominants ne s’annule pas. L’égalité des degrés des deux facteurs ne garantit pas cette condition.

17. Quelle condition caractérise un idéal bilatère d’un anneau A ?

C’est un sous-groupe additif stable par multiplication à gauche, mais pas nécessairement à droite.
C’est un sous-groupe multiplicatif stable par addition à gauche et à droite par tout élément de A.
C’est un sous-groupe additif stable par multiplication à gauche et à droite par tout élément de A.
C’est un sous-ensemble stable par multiplication à droite, sans condition d’addition.

C’est un sous-groupe additif stable par multiplication à gauche et à droite par tout élément de A.

Explication

Un idéal bilatère est un sous-groupe additif qui reste stable sous multiplication par tout élément de l’anneau, des deux côtés. La stabilité d’un seul côté ne suffit pas à caractériser un idéal bilatère.

18. Pourquoi un idéal bilatère permet-il de former un anneau quotient même si R n’est pas commutatif ?

Parce que sa stabilité des deux côtés rend bien définies les opérations induites sur les classes modulo l’idéal.
Parce que tout idéal bilatère rend l’anneau R commutatif avant de prendre le quotient.
Parce que la projection canonique transforme un idéal à gauche en idéal bilatère.
Parce que les classes modulo l’idéal sont définies sans utiliser les opérations de R.

Parce que sa stabilité des deux côtés rend bien définies les opérations induites sur les classes modulo l’idéal.

Explication

La stabilité à gauche et à droite assure que les opérations de R induisent des opérations bien définies sur les classes de R/I, et la projection canonique est un morphisme d’anneaux. Un idéal bilatère ne rend pas pour autant R commutatif.

19. Quelle propriété possède le noyau d’un morphisme d’anneaux f : R → S ?

C’est l’ensemble des éléments de S qui ne sont pas dans l’image de f.
C’est un sous-anneau de S contenant l’image de f.
C’est un idéal à gauche de S défini par les éléments inversibles.
C’est un idéal bilatère de R.

C’est un idéal bilatère de R.

Explication

Le noyau est constitué d’éléments de l’anneau de départ R et forme un idéal bilatère de R. L’image, qui se trouve dans S, est une notion distincte du noyau.

20. Quelle relation relie le quotient par le noyau d’un morphisme f : R → S à son image ?

ker⁡(f)\ker(f) est isomorphe à Im⁡(f)\operatorname{Im}(f), qui est un quotient de S.
R/Im⁡(f)R/\operatorname{Im}(f) est isomorphe à ker⁡(f)\ker(f), qui est un sous-anneau de S.
R/ker⁡(f)R/\ker(f) est isomorphe à S, quelle que soit l’image de f.
R/ker⁡(f)R/\ker(f) est isomorphe à Im⁡(f)\operatorname{Im}(f), qui est un sous-anneau de S.

$$R/\ker(f)$$ est isomorphe à $$\operatorname{Im}(f)$$, qui est un sous-anneau de S.

Explication

L’image de f forme un sous-anneau de S et le quotient de R par le noyau de f lui est isomorphe. Le quotient n’est pas nécessairement isomorphe à tout S, car l’image peut être un sous-anneau propre.

21. Dans un anneau commutatif RR, quelle condition caractérise un idéal propre pp premier ?

Si a+b∈pa+b\in p, alors a∈pa\in p ou b∈pb\in p, pour tous a,b∈Ra,b\in R.
Si ab∈pab\in p, alors a∈pa\in p ou b∈pb\in p, pour tous a,b∈Ra,b\in R.
Si ab∈pab\in p, alors a∈pa\in p et b∈pb\in p, pour tous a,b∈Ra,b\in R.
Si a∈pa\in p ou b∈pb\in p, alors ab∈pab\in p, pour tous a,b∈Ra,b\in R.

Si $$ab\in p$$, alors $$a\in p$$ ou $$b\in p$$, pour tous $$a,b\in R$$.

Explication

La primalité impose que l’appartenance d’un produit à pp entraîne l’appartenance d’au moins un facteur à pp. La condition portant sur une somme décrit une autre propriété et ne caractérise pas un idéal premier.

22. Pourquoi l’anneau Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} n’est-il pas intègre ?

Parce que ses éléments non nuls sont tous inversibles, mais certains inverses manquent.
Parce que les classes de 2 et de 3 sont non nulles, mais leur produit est nul.
Parce que la classe de 6 est non nulle, bien qu’elle soit égale à la classe de zéro.
Parce que les classes de 2 et de 3 sont nulles, mais leur produit est non nul.

Parce que les classes de 2 et de 3 sont non nulles, mais leur produit est nul.

Explication

Dans Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, les classes de 2 et de 3 sont non nulles et leur produit vaut la classe de 6, donc zéro; il y a ainsi des diviseurs de zéro non nuls. Un anneau intègre doit être non nul et ne pas avoir de tels diviseurs.

23. Comment caractériser la primalité d’un idéal propre pp de RR à l’aide de l’anneau quotient ?

pp est premier si et seulement si R/pR/p est réduit à zéro.
pp est premier si et seulement si R/pR/p est un corps.
pp est premier si et seulement si R/pR/p est intègre.
pp est premier si et seulement si R/pR/p est principal.

$$p$$ est premier si et seulement si $$R/p$$ est intègre.

Explication

Un idéal propre pp est premier exactement lorsque le quotient R/pR/p est un anneau intègre. Être un corps est une condition plus forte que l’intégrité et correspond à une caractérisation différente des idéaux.

24. Quelle propriété de Z\mathbb{Z} découle du fait que chacun de ses idéaux est de la forme nZn\mathbb{Z} pour un unique entier naturel nn ?

Z\mathbb{Z} est un corps.
Z\mathbb{Z} est un anneau fini.
Z\mathbb{Z} est un anneau principal.
Z\mathbb{Z} est un anneau où chaque élément est inversible.

$$\mathbb{Z}$$ est un anneau principal.

Explication

Un anneau dont tous les idéaux sont engendrés par un seul élément est un anneau principal; les idéaux de Z\mathbb{Z} ont précisément cette forme. Cela ne fait pas de Z\mathbb{Z} un corps, car tous ses éléments non nuls ne sont pas inversibles dans Z\mathbb{Z}.

25. Pour n=18n=18 et m=30m=30, quel idéal est égal à nZ+mZn\mathbb{Z}+m\mathbb{Z} ?

12Z12\mathbb{Z}, car la différence entre 30 et 18 vaut 12.
6Z6\mathbb{Z}, car pgcd⁡(18,30)=6\operatorname{pgcd}(18,30)=6.
90Z90\mathbb{Z}, car 18×30=9018\times30=90.
48Z48\mathbb{Z}, car 18+30=4818+30=48.

$$6\mathbb{Z}$$, car $$\operatorname{pgcd}(18,30)=6$$.

Explication

La somme des idéaux nZn\mathbb{Z} et mZm\mathbb{Z} est l’idéal engendré par leur pgcd, ici 6Z6\mathbb{Z}. Le produit des deux entiers engendre plutôt un idéal lié au ppcm, et non à la somme des idéaux.

26. Quelle caractéristique garantit l’unicité de la décomposition en facteurs premiers d’un entier n∉{−1,0,1}n\notin\{-1,0,1\} ?

Le signe est inclus dans un facteur premier et les facteurs sont rangés par exposant décroissant.
Les facteurs premiers peuvent être répétés comme facteurs distincts et leur ordre détermine la décomposition.
Le signe est séparé et les nombres premiers distincts sont rangés par ordre croissant avec leurs puissances.
La décomposition ne comporte que des facteurs premiers positifs et laisse le signe sans représentation.

Le signe est séparé et les nombres premiers distincts sont rangés par ordre croissant avec leurs puissances.

Explication

La décomposition s’écrit avec un signe ε∈{−1,1}\varepsilon\in\{-1,1\}, puis des puissances de nombres premiers distincts rangés dans l’ordre croissant. L’ordre des facteurs ne crée pas plusieurs décompositions, et le signe est représenté séparément.

27. Pour définir un morphisme f:A[X]→Bf:A[X]\to B, que faut-il fixer pour que son action sur tous les polynômes soit déterminée de manière unique ?

L’image de chaque coefficient et le degré maximal autorisé des polynômes.
L’image de XX et la valeur de ff sur un seul polynôme non constant.
La restriction de ff à AA et l’image β\beta de XX.
L’image du polynôme nul et l’image du degré de chaque polynôme.

La restriction de $$f$$ à $$A$$ et l’image $$\beta$$ de $$X$$.

Explication

Le morphisme est entièrement déterminé par son action sur les coefficients de AA et par l’image β=f(X)\beta=f(X), puisque f(∑aiXi)=∑f(ai)βif(\sum a_iX^i)=\sum f(a_i)\beta^i. Fixer l’image de XX sans connaître la restriction à AA ne détermine pas l’image des coefficients.

28. Si un morphisme d’anneaux f:A→Bf:A\to B envoie un élément inversible aa de AA vers f(a)f(a), quelle relation vérifie l’image de son inverse ?

f(a−1)=0f(a^{-1})=0, et f(a)f(a) est nul dans BB.
f(a−1)=f(a)−1f(a^{-1})=f(a)^{-1}, et f(a)f(a) est inversible dans BB.
f(a−1)=f(a)f(a^{-1})=f(a), et f(a)f(a) est inversible dans BB.
f(a−1)=−f(a)−1f(a^{-1})=-f(a)^{-1}, et f(a)f(a) est inversible dans BB.

$$f(a^{-1})=f(a)^{-1}$$, et $$f(a)$$ est inversible dans $$B$$.

Explication

Comme aa−1=1aa^{-1}=1, l’application du morphisme donne f(a)f(a−1)=1f(a)f(a^{-1})=1, ce qui établit que f(a)f(a) est inversible et que son inverse est f(a−1)f(a^{-1}). L’image de l’inverse n’est donc pas simplement l’image de aa.

29. Pourquoi tout morphisme d’anneaux entre deux corps est-il injectif ?

Les deux corps ont nécessairement le même nombre d’éléments.
Tout élément non nul du corps de départ est envoyé sur 1.
Son image contient tous les éléments du corps d’arrivée.
Son noyau est réduit à {0}\{0\}.

Son noyau est réduit à $$\{0\}$$.

Explication

Le noyau d’un morphisme entre corps est réduit à {0}\{0\}, ce qui implique son injectivité. Cette propriété ne garantit pas que l’image soit tout le corps d’arrivée, donc la surjectivité n’en découle pas.

30. Quelle est la valeur de tout morphisme d’anneaux f:Q→Qf:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} sur un rationnel qq ?

f(q)=q2f(q)=q^2 pour tout q∈Qq\in\mathbb{Q}.
f(q)=0f(q)=0 pour tout q∈Qq\in\mathbb{Q}.
f(q)=qf(q)=q pour tout q∈Qq\in\mathbb{Q}.
f(q)=−qf(q)=-q pour tout q∈Qq\in\mathbb{Q}.

$$f(q)=q$$ pour tout $$q\in\mathbb{Q}$$.

Explication

Tout morphisme d’anneaux de Q\mathbb{Q} dans lui-même est l’identité, donc il fixe chaque rationnel. L’application qui envoie chaque rationnel sur son opposé ne préserve pas l’unité comme le fait un morphisme d’anneaux.

31. Quelle comparaison décrit les morphismes d’anneaux R→R\mathbb{R}\to\mathbb{R} et les morphismes C→C\mathbb{C}\to\mathbb{C} qui fixent R\mathbb{R} ?

Sur R\mathbb{R}, l’identité et la conjugaison sont possibles; sur C\mathbb{C}, seule l’identité est possible.
Sur R\mathbb{R}, seule la conjugaison est possible; sur C\mathbb{C}, l’identité et la conjugaison sont possibles.
Sur R\mathbb{R}, l’identité est possible; sur C\mathbb{C}, toute permutation fixant R\mathbb{R} est possible.
Sur R\mathbb{R}, seul l’identité est possible; sur C\mathbb{C}, l’identité et la conjugaison sont possibles.

Sur $$\mathbb{R}$$, seul l’identité est possible; sur $$\mathbb{C}$$, l’identité et la conjugaison sont possibles.

Explication

Tout morphisme d’anneaux de R\mathbb{R} dans lui-même est l’identité, tandis que sur C\mathbb{C}, un morphisme fixant les réels peut aussi être la conjugaison complexe. La conjugaison complexe n’est pas un morphisme de R\mathbb{R} vers lui-même distinct de l’identité.

32. Quels sont les éléments inversibles de l’anneau des entiers de Gauss Z[i]\mathbb{Z}[i] ?

Tous les éléments dont la norme vaut un
−1,1,−i,i-1, 1, -i, i
Les éléments de la forme a+iba+ib avec aa impair
Les éléments non nuls de norme positive

$$-1, 1, -i, i$$

Explication

Les seuls inversibles de Z[i]\mathbb{Z}[i] sont les quatre éléments −1,1,−i,i-1, 1, -i, i. Avoir une norme égale à un caractérise ici ces inversibles, mais la réponse qui énumère les éléments est précise, tandis que la condition de norme positive concerne bien d’autres éléments.

33. Dans Z[2]\mathbb{Z}[\sqrt{2}], quelle expression donne la norme de a+b2a+b\sqrt{2} et décrit l’ensemble des inversibles ?

La norme est a2−2b2a^2-2b^2, et les inversibles sont ±(1+2)n\pm(1+\sqrt{2})^n pour n∈Zn\in\mathbb{Z}
La norme est a2+2b2a^2+2b^2, et les inversibles sont les éléments de norme positive
La norme est a2+b2a^2+b^2, et les inversibles sont les éléments de norme égale à un
La norme est a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2, et les inversibles sont ±(1+2)\pm(1+\sqrt{2})

La norme est $$a^2-2b^2$$, et les inversibles sont $$\pm(1+\sqrt{2})^n$$ pour $$n\in\mathbb{Z}$$

Explication

La norme est N(a+b2)=a2−2b2N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2 et elle est multiplicative; les inversibles sont les puissances entières de 1+21+\sqrt{2} et leurs opposés. La formule a2+b2a^2+b^2 correspond à la norme des entiers de Gauss, non à celle de cet anneau.

34. Quelle propriété caractérise l’anneau HH des matrices de la forme (a−b\ba)\begin{pmatrix}a&-b\b&a\end{pmatrix}, où a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} ?

Tout élément non nul y est inversible, mais la multiplication n’y est pas commutative
Tout élément non nul y est inversible et la multiplication y est commutative
Aucun élément non nul n’y est inversible et la multiplication n’y est pas commutative
Certains éléments non nuls n’y sont pas inversibles, bien que la multiplication soit commutative

Tout élément non nul y est inversible, mais la multiplication n’y est pas commutative

Explication

Cet anneau est un corps non commutatif : chaque élément non nul possède un inverse, mais l’ordre des facteurs peut changer le produit. Le confondre avec un corps commutatif conserve l’existence des inverses, mais nie précisément la non-commutativité.

35. Comment caractériser un idéal maximal m\mathfrak{m} d’un anneau RR ?

C’est un idéal propre qui n’est contenu dans aucun idéal propre strictement plus grand
C’est un idéal propre qui contient tous les autres idéaux propres de l’anneau
C’est un idéal qui contient au moins un idéal premier strictement plus petit
C’est un idéal engendré par un seul élément et distinct de l’anneau

C’est un idéal propre qui n’est contenu dans aucun idéal propre strictement plus grand

Explication

Un idéal maximal est propre et maximal parmi les idéaux propres pour l’inclusion. Être engendré par un seul élément n’est pas la condition définissant la maximalité.

36. Que peut-on affirmer d’un anneau non nul concernant ses idéaux maximaux ?

Il possède exactement un idéal maximal
Il ne possède un idéal maximal que s’il est un corps
Il possède un idéal maximal dès qu’il est noethérien
Il possède au moins un idéal maximal

Il possède au moins un idéal maximal

Explication

Tout anneau non nul possède au moins un idéal maximal. Cette propriété ne signifie pas que cet idéal est unique, contrairement à ce qu’affirme la réponse qui impose exactement un maximal.

37. Pour un idéal m\mathfrak{m} de AA, quelle condition équivaut à sa maximalité et quelle conséquence en découle ?

Le quotient A/mA/\mathfrak{m} est un anneau intègre, donc m\mathfrak{m} est maximal
Le quotient A/mA/\mathfrak{m} est un anneau local, donc m\mathfrak{m} est premier
Le quotient A/mA/\mathfrak{m} est un corps, donc m\mathfrak{m} est premier
Le quotient A/mA/\mathfrak{m} est un corps, donc m\mathfrak{m} est nécessairement principal

Le quotient $$A/\mathfrak{m}$$ est un corps, donc $$\mathfrak{m}$$ est premier

Explication

Un idéal est maximal si et seulement si son quotient est un corps; il est donc aussi premier. Un quotient intègre caractérise la primalité, mais ne suffit pas à garantir la maximalité.

38. Quelle formulation est équivalente au fait qu’un anneau AA soit noethérien ?

Toute suite croissante d’idéaux est stationnaire, et tout ensemble non vide d’idéaux possède un élément maximal pour l’inclusion
Toute suite d’idéaux devient stationnaire, et tout ensemble d’idéaux possède un élément maximal pour l’inclusion
Toute suite décroissante d’idéaux est stationnaire, et tout ensemble non vide d’idéaux possède un élément minimal pour l’inclusion
Toute suite croissante d’idéaux possède un élément maximal, et tout idéal est premier

Toute suite croissante d’idéaux est stationnaire, et tout ensemble non vide d’idéaux possède un élément maximal pour l’inclusion

Explication

La condition de chaîne ascendante équivaut à la propriété selon laquelle tout ensemble non vide d’idéaux possède un élément maximal pour l’inclusion. La condition portant sur les suites décroissantes est une autre propriété et ne fournit pas le critère noethérien énoncé.

39. Comment définir le nilradical Nil⁡(A)\operatorname{Nil}(A) et à quel ensemble d’idéaux est-il égal ?

C’est l’ensemble des éléments inversibles, égal à l’intersection des idéaux propres
C’est l’ensemble des éléments xx tels que xn=0x^n=0 pour un entier n≥1n\geq1, égal à l’intersection des idéaux premiers
C’est l’ensemble des éléments annulés par un élément non nul, égal à l’union des idéaux premiers
C’est l’ensemble des éléments contenus dans un idéal maximal, égal à l’intersection des idéaux maximaux

C’est l’ensemble des éléments $$x$$ tels que $$x^n=0$$ pour un entier $$n\geq1$$, égal à l’intersection des idéaux premiers

Explication

Le nilradical réunit les éléments nilpotents, c’est-à-dire ceux dont une puissance positive est nulle, et il est l’intersection des idéaux premiers. L’intersection des idéaux maximaux correspond au radical de Jacobson, et non au nilradical.

40. Quels objets constituent les éléments de Spec⁡(A)\operatorname{Spec}(A) ?

Les idéaux premiers de AA
Les idéaux maximaux de AA
Les éléments nilpotents de AA
Les idéaux propres de AA

Les idéaux premiers de $$A$$

Explication

Le spectre Spec⁡(A)\operatorname{Spec}(A) est l’ensemble des idéaux premiers de AA. Les idéaux maximaux en font partie, mais ils ne constituent pas nécessairement à eux seuls tout le spectre.

41. Pour un idéal II de AA, quels points de Spec⁡(A)\operatorname{Spec}(A) forment l’ensemble V(I)V(I) ?

Les idéaux propres qui contiennent II; ces ensembles sont les fermés de la topologie de Zariski
Les idéaux maximaux contenus dans II; ces ensembles sont les ouverts de la topologie de Zariski
Les idéaux premiers qui contiennent II; ces ensembles sont les fermés de la topologie de Zariski
Les idéaux premiers qui ne contiennent pas II; ces ensembles sont les fermés de la topologie de Zariski

Les idéaux premiers qui contiennent $$I$$; ces ensembles sont les fermés de la topologie de Zariski

Explication

Par définition, V(I)V(I) rassemble les idéaux premiers contenant II, et ces ensembles sont les fermés de la topologie de Zariski. La condition de ne pas contenir l’idéal décrit plutôt un complémentaire de ce type d’ensemble, pas le fermé V(I)V(I) lui-même.

42. Pour deux idéaux I,JI,J et une famille d’idéaux (Iα)(I_\alpha), quelles égalités décrivent les fermés associés dans le spectre ?

V(I∩J)=V(IJ)=V(I)∪V(J)V(I\cap J)=V(IJ)=V(I)\cup V(J) et V(∑αIα)=⋂αV(Iα)V(\sum_\alpha I_\alpha)=\bigcap_\alpha V(I_\alpha)
V(I∩J)=V(IJ)=V(I)∩V(J)V(I\cap J)=V(IJ)=V(I)\cap V(J) et V(∑αIα)=⋃αV(Iα)V(\sum_\alpha I_\alpha)=\bigcup_\alpha V(I_\alpha)
V(I+J)=V(I)∪V(J)V(I+J)=V(I)\cup V(J) et V(⋂αIα)=⋂αV(Iα)V(\bigcap_\alpha I_\alpha)=\bigcap_\alpha V(I_\alpha)
V(IJ)=V(I)∩V(J)V(IJ)=V(I)\cap V(J) et V(∑αIα)=⋃αV(Iα)V(\sum_\alpha I_\alpha)=\bigcup_\alpha V(I_\alpha)

$$V(I\cap J)=V(IJ)=V(I)\cup V(J)$$ et $$V(\sum_\alpha I_\alpha)=\bigcap_\alpha V(I_\alpha)$$

Explication

Un idéal premier contient IJIJ si et seulement s’il contient II ou JJ, d’où l’union des fermés; contenir une somme revient à contenir chaque idéal de la famille, d’où l’intersection. L’option qui remplace l’union par une intersection pour V(IJ)V(IJ) inverse cette relation.

43. Si un ouvert de Spec⁡(A)\operatorname{Spec}(A) est le complémentaire de V(I)V(I), comment peut-on le décrire à l’aide des ouverts principaux ?

Comme la réunion des V(f)V(f) pour f∈If\in I
Comme la réunion des D(f)D(f) pour f∈If\in I
Comme l’intersection des D(f)D(f) pour f∈If\in I
Comme le complémentaire de la réunion des D(f)D(f) pour f∈If\in I

Comme la réunion des $$D(f)$$ pour $$f\in I$$

Explication

Le complémentaire de V(I)V(I) est la réunion des ouverts principaux D(f)D(f) associés aux éléments f∈If\in I. Une intersection de ces ouverts ne décrit pas, en général, le complémentaire de V(I)V(I).

44. Quels sont les idéaux premiers de k[t]/(t2)k[t]/(t^2) lorsque kk est un corps ?

L’idéal engendré par la classe de tt
L’idéal nul et l’idéal engendré par la classe de tt
L’idéal engendré par la classe de t2t^2
Un idéal distinct pour chaque polynôme irréductible de k[t]k[t]

L’idéal engendré par la classe de $$t$$

Explication

Le spectre de k[t]/(t2)k[t]/(t^2) se réduit à l’idéal engendré par la classe de tt. La description par les polynômes irréductibles concerne Spec⁡(k[t])\operatorname{Spec}(k[t]), et non ce quotient.

45. Laquelle des parties suivantes est une partie multiplicative d’un anneau RR ?

Une partie excluant 00 et stable par addition, sans condition sur 11
Une partie contenant 00, excluant 11 et stable par addition
Une partie contenant 11 et stable par addition, sans condition sur 00
Une partie contenant 11, excluant 00 et stable par multiplication

Une partie contenant $$1$$, excluant $$0$$ et stable par multiplication

Explication

Une partie multiplicative contient l’unité, ne contient pas zéro et reste stable lorsqu’on multiplie deux de ses éléments. La stabilité par addition ne remplace pas cette condition de fermeture multiplicative.

46. Quelle propriété caractérise la localisation S−1RS^{-1}R au-delà du fait que les images des éléments de SS y sont inversibles ?

Tout morphisme depuis RR qui annule les images de SS se factorise de manière unique par S−1RS^{-1}R
Tout morphisme vers RR qui rend les images de tous ses éléments inversibles se factorise par S−1RS^{-1}R
Tout morphisme depuis RR se factorise par S−1RS^{-1}R, même s’il ne rend pas les images de SS inversibles
Tout morphisme depuis RR qui rend ces images inversibles se factorise de manière unique par S−1RS^{-1}R

Tout morphisme depuis $$R$$ qui rend ces images inversibles se factorise de manière unique par $$S^{-1}R$$

Explication

La propriété universelle affirme l’existence d’une factorisation unique pour un morphisme depuis RR qui rend inversibles les images des éléments de SS. Elle ne porte pas sur les morphismes qui annulent ces images.

47. Dans un anneau intègre, supposons que le coefficient dominant de Q∈A[X]Q\in A[X] soit inversible et que Q≠0Q\ne 0. Quel résultat garantit la division de tout P∈A[X]P\in A[X] par QQ ?

Il existe un unique couple S,R∈A[X]S,R\in A[X] tel que P=QS+RP=QS+R et R=0R=0 ou deg⁡(R)≤deg⁡(Q)\deg(R)\leq\deg(Q)
Il existe un couple S,R∈A[X]S,R\in A[X] tel que P=QS+RP=QS+R avec R=0R=0 ou deg⁡(S)<deg⁡(Q)\deg(S)<\deg(Q)
Il existe un unique couple S,R∈A[X]S,R\in A[X] tel que P=QS+RP=QS+R et R=0R=0 ou deg⁡(R)<deg⁡(Q)\deg(R)<\deg(Q)
Il existe un unique couple S,R∈A[X]S,R\in A[X] tel que P=QS+RP=QS+R avec RR constant

Il existe un unique couple $$S,R\in A[X]$$ tel que $$P=QS+R$$ et $$R=0$$ ou $$\deg(R)<\deg(Q)$$

Explication

La division euclidienne donne un quotient et un reste uniques, le reste étant nul ou de degré strictement inférieur à celui de QQ. Une borne non stricte sur le degré du reste ne suffit pas à caractériser le résultat.

48. Pour un anneau intègre AA, quelle localisation donne son corps des fractions ?

La localisation de AA par la partie multiplicative A∖{1}A\setminus\{1\}
La localisation de AA par l’ensemble des éléments inversibles de AA
La localisation de AA par l’ensemble des éléments nilpotents de AA
La localisation de AA par la partie multiplicative A∖{0}A\setminus\{0\}

La localisation de $$A$$ par la partie multiplicative $$A\setminus\{0\}$$

Explication

Le corps des fractions s’obtient en inversant tous les éléments non nuls de AA. Localiser par les éléments déjà inversibles ne construit pas, en général, ce corps.

49. Quelle condition sur un stathme vv permet à un anneau intègre AA d’être euclidien ?

Pour b≠0b\ne 0, chaque aa s’écrit a=bq+ra=bq+r avec r=0r=0 ou v(r)<v(b)v(r)<v(b), et v(b)≤v(ab)v(b)\leq v(ab) pour a,b≠0a,b\ne0
Pour b≠0b\ne 0, chaque aa s’écrit a=bq+ra=bq+r avec r=0r=0 ou v(r)>v(b)v(r)>v(b), et v(ab)≤v(b)v(ab)\leq v(b) pour a,b≠0a,b\ne0
Pour b≠0b\ne 0, chaque aa s’écrit a=bqa=bq avec v(b)≤v(ab)v(b)\leq v(ab) pour a,b≠0a,b\ne0
Pour b≠0b\ne 0, chaque aa s’écrit a=bq+ra=bq+r avec r=0r=0 ou v(r)<v(a)v(r)<v(a), et v(ab)≤v(b)v(ab)\leq v(b) pour a,b≠0a,b\ne0

Pour $$b\ne 0$$, chaque $$a$$ s’écrit $$a=bq+r$$ avec $$r=0$$ ou $$v(r)<v(b)$$, et $$v(b)\leq v(ab)$$ pour $$a,b\ne0$$

Explication

Un stathme euclidien fournit un reste nul ou de stathme inférieur à celui du diviseur, et il vérifie aussi la monotonie indiquée pour les produits. Comparer le reste à aa au lieu de le comparer à bb ne donne pas la condition de division requise.

50. Dans un anneau intègre non principal, quelle relation entre élément premier et élément irréductible peut échouer ?

Un élément premier peut ne pas être irréductible
Tout élément irréductible est premier, mais un élément premier peut ne pas être irréductible
Les notions coïncident dans tout anneau intègre
Un élément irréductible peut ne pas être premier

Un élément irréductible peut ne pas être premier

Explication

Dans un anneau intègre, tout élément premier est irréductible, mais la réciproque peut échouer hors des cadres principaux ou factoriels. La proposition inverse la direction de l’implication qui reste toujours vraie.

51. Que garantit le caractère principal d’un anneau intègre pour un élément non nul et non inversible ?

Une décomposition en irréductibles unique à l’ordre et aux éléments associés près
L’absence de décomposition en facteurs non inversibles
Une décomposition en irréductibles, sans garantie d’unicité à l’ordre près
Une décomposition en éléments premiers unique sans tenir compte des éléments associés

Une décomposition en irréductibles unique à l’ordre et aux éléments associés près

Explication

Tout anneau principal est factoriel : les éléments non nuls et non inversibles s’y décomposent en irréductibles, avec unicité à l’ordre et aux associés près. L’unicité ne signifie pas que les facteurs associés puissent être distingués.

52. Quelle affirmation identifie correctement un anneau euclidien et le stathme utilisé ?

K[X]K[X] est euclidien pour le coefficient dominant, et Z[i]\mathbb{Z}[i] pour la norme a2−b2a^2-b^2
K[X]K[X] est euclidien pour le degré, et Z[i]\mathbb{Z}[i] pour la somme a+ba+b
K[X]K[X] est euclidien pour le degré, et Z[i]\mathbb{Z}[i] pour la norme N(a+ib)=a2+b2N(a+ib)=a^2+b^2
K[X]K[X] est euclidien pour la norme, et Z[i]\mathbb{Z}[i] pour le degré

$$K[X]$$ est euclidien pour le degré, et $$\mathbb{Z}[i]$$ pour la norme $$N(a+ib)=a^2+b^2$$

Explication

Le degré est un stathme euclidien sur K[X]K[X], tandis que Z[i]\mathbb{Z}[i] est euclidien pour la norme a2+b2a^2+b^2. Le degré ne constitue pas le stathme associé à l’anneau des entiers de Gauss.

53. Dans un anneau factoriel, comment caractérise-t-on le contenu d’un polynôme non nul et le fait qu’il soit primitif ?

Son contenu est le coefficient dominant, et il est primitif lorsque ce coefficient est irréductible.
Son contenu est le produit de ses coefficients, et il est primitif lorsque ce produit est nul.
Son contenu est un PGCD de ses coefficients, et il est primitif lorsque ce contenu est inversible.
Son contenu est le degré du polynôme, et il est primitif lorsque ce degré est premier.

Son contenu est un PGCD de ses coefficients, et il est primitif lorsque ce contenu est inversible.

Explication

Le contenu est défini comme un PGCD des coefficients, et la primitivité signifie que ce PGCD est inversible. Le coefficient dominant ne suffit pas à déterminer le contenu.

54. Si deux polynômes primitifs sont multipliés dans l’anneau de polynômes sur un anneau factoriel, que peut-on conclure de leur produit ?

Il est primitif, car le contenu du produit est le produit des contenus à une unité près.
Il est primitif seulement si les deux degrés sont premiers entre eux.
Il est irréductible dès lors que chacun des deux facteurs est primitif.
Il a pour contenu le produit de leurs coefficients dominants, à une unité près.

Il est primitif, car le contenu du produit est le produit des contenus à une unité près.

Explication

Le lemme de Gauss donne la multiplicativité du contenu à une unité près, donc le produit de deux contenus inversibles reste inversible. La primitivité des facteurs ne permet pas de conclure que leur produit est irréductible.

55. Quelle propriété des anneaux factoriels découle du théorème de Gauss ?

L’anneau de polynômes A[X] est factoriel lorsqu'A est factoriel.
L’anneau A[X] est un corps dès qu'A est factoriel.
Tout idéal de A[X] est principal lorsqu'A est factoriel.
Tout polynôme non nul de A[X] est irréductible lorsqu'A est factoriel.

L’anneau de polynômes A[X] est factoriel lorsqu'A est factoriel.

Explication

Le théorème de Gauss affirme que la factorialité de A entraîne celle de A[X]. Cette propriété ne signifie pas qu'A[X] est un corps ni que tous ses idéaux sont principaux.

56. Un polynôme primitif de degré positif a ses coefficients non dominants divisibles par un irréductible p, son coefficient dominant n’est pas divisible par p, et son terme constant n’est pas divisible par p² ; quelle conclusion s’applique ?

Le critère d’Eisenstein garantit que le polynôme est réductible dans A[X].
Le lemme de Gauss garantit que le polynôme est irréductible dans A[X].
Le théorème de Gauss garantit que le polynôme est inversible dans A[X].
Le critère d’Eisenstein garantit que le polynôme est irréductible dans A[X].

Le critère d’Eisenstein garantit que le polynôme est irréductible dans A[X].

Explication

Ces conditions sont précisément celles du critère d’Eisenstein pour un polynôme primitif sur un anneau factoriel. Le lemme de Gauss porte sur le contenu des produits, et ne suffit pas à lui seul à établir l’irréductibilité.

57. Pour un idéal I et une partie multiplicative S d’un anneau A, comment la localisation se comporte-t-elle avec le radical de I ?

Le radical de S⁻¹I est égal à l’intersection de √I et de S.
Le radical de S⁻¹I est égal à la localisation de l’annulateur de I.
Le radical de S⁻¹I est égal à S⁻¹I lui-même.
Le radical de S⁻¹I est égal à la localisation de √I.

Le radical de S⁻¹I est égal à la localisation de √I.

Explication

La localisation commute avec le passage au radical : √(S⁻¹I) = S⁻¹(√I). Le radical n’est pas nécessairement l’idéal localisé lui-même, car un idéal n’est pas nécessairement radical.

58. Comment la localisation se comporte-t-elle avec la somme, le produit et l’intersection de deux idéaux I et J ?

Elle commute avec la somme et l’intersection, mais transforme le produit en intersection.
Elle commute avec la somme et le produit, mais transforme l’intersection en somme.
Elle commute avec ces trois opérations : somme, produit et intersection.
Elle commute avec l’intersection, mais transforme la somme et le produit en produits.

Elle commute avec ces trois opérations : somme, produit et intersection.

Explication

La localisation d’une somme, d’un produit ou d’une intersection donne respectivement la somme, le produit ou l’intersection des idéaux localisés. En particulier, l’intersection ne se transforme pas en somme.

59. Pour un idéal premier p de R, quel est l’unique idéal maximal de l’anneau local Rₚ ?

Les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux hors de p.
Les fractions dont le numérateur et le dénominateur appartiennent tous deux à p.
Les fractions dont le numérateur appartient à p et dont le dénominateur est hors de p.
Les fractions dont le numérateur est hors de p et dont le dénominateur appartient à p.

Les fractions dont le numérateur appartient à p et dont le dénominateur est hors de p.

Explication

L’unique idéal maximal de Rₚ est formé des fractions ayant un numérateur dans p et un dénominateur hors de p. Un dénominateur appartenant à p ne fait pas partie de l’ensemble multiplicatif utilisé pour cette localisation.

60. Pour l’application canonique i : A → S⁻¹A, quand un élément a appartient-il à son noyau ?

Lorsqu’il existe s dans S tel que s divise a dans A.
Lorsqu’il existe s dans S tel que sa = 0 dans A.
Lorsqu’il existe s dans S tel que s + a = 0 dans A.
Lorsqu’il existe un entier n positif tel qu'aⁿ = 0 dans A.

Lorsqu’il existe s dans S tel que sa = 0 dans A.

Explication

Le noyau de l’application canonique est constitué des éléments annulés par au moins un élément de S. La nilpotence de a, à elle seule, ne garantit pas qu'a soit annulé par un élément de S.

61. Si, dans K[X], une division euclidienne donne A = BQ + R avec R = 0 ou deg(R) < deg(B), quelle relation entre les PGCD en résulte ?

PGCD(A,B) = PGCD(B,R), à multiplication par une constante non nulle près.
PGCD(A,B) = PGCD(Q,R), à multiplication par une constante non nulle près.
PGCD(A,B) = PGCD(A,Q), à multiplication par une constante non nulle près.
PGCD(A,B) = B, dès que le degré de R est inférieur à celui de B.

PGCD(A,B) = PGCD(B,R), à multiplication par une constante non nulle près.

Explication

La division euclidienne permet de remplacer le couple (A,B) par (B,R) sans changer le PGCD, sauf à un facteur constant non nul près. Le quotient Q n’est pas le terme qui remplace A dans cette relation.

62. Quel est le PGCD de X8−1X^8-1 et X12−1X^{12}-1 ?

X2−1X^2-1
X20−1X^{20}-1
X4−1X^4-1
X96−1X^{96}-1

$$X^4-1$$

Explication

La formule donne Xpgcd⁡(8,12)−1=X4−1X^{\operatorname{pgcd}(8,12)}-1=X^4-1, car le PGCD des exposants est 4. Le produit des exposants, 96, n’intervient pas dans la formule.

63. Pourquoi X2+X+1X^2+X+1 est-il irréductible sur F2\mathbb{F}_2, et quelle est la taille du corps quotient associé ?

Il a une racine dans F2\mathbb{F}_2, et le quotient a 2 éléments.
Il est de degré 2, et le quotient a 3 éléments.
Il n’a aucune racine dans F2\mathbb{F}_2, et le quotient a 4 éléments.
Il est irréductible parce que son terme constant est non nul, et le quotient a 4 éléments.

Il n’a aucune racine dans $$\mathbb{F}_2$$, et le quotient a 4 éléments.

Explication

Dans le corps à deux éléments, ce polynôme n’a aucune racine; un polynôme quadratique sans racine y est irréductible. Le quotient par un polynôme irréductible de degré 2 sur F2\mathbb{F}_2 a 22=42^2=4 éléments.

64. Pour établir l’irréductibilité sur Q\mathbb{Q} par le critère d’Eisenstein, quelle condition doit satisfaire un nombre premier p relativement aux coefficients ?

Il ne divise aucun coefficient sauf le terme constant, que son carré doit diviser.
Il divise tous les coefficients sauf le dominant, ne divise pas celui-ci et son carré ne divise pas le terme constant.
Il divise tous les coefficients, y compris le dominant, tandis que son carré ne divise aucun coefficient.
Il divise le coefficient dominant et le terme constant, mais ne divise aucun coefficient intermédiaire.

Il divise tous les coefficients sauf le dominant, ne divise pas celui-ci et son carré ne divise pas le terme constant.

Explication

Le critère requiert la divisibilité par p de tous les coefficients non dominants, la non-divisibilité du coefficient dominant et la non-divisibilité du terme constant par p². Si p divise le coefficient dominant, la condition essentielle du critère échoue.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 87 flashcards sur Anneaux et spectre de Zariski.

Quelles propriétés définissent une relation d’équivalence sur un ensemble ?

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

Comment définir la classe d’équivalence de l’élément xx ?

C’est l’ensemble des éléments en relation avec xx.

Quel ensemble forment les classes d’équivalence associées à RR sur EE ?

Le quotient E/RE/R.

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