Fiche de révision : Anneaux et spectre de Zariski

📋 Plan du Cours

1. Relations et ensembles quotients
2. Groupes quotients et isomorphismes
3. Anneaux et morphismes
4. Modules et anneaux de polynômes
5. Anneau des polynômes et degré
6. Idéaux et anneaux quotients
7. Primalité et intégrité des anneaux
8. Arithmétique entière et universalité
9. Morphismes et anneaux particuliers
10. Normes et anneaux quadratiques
11. Idéaux maximaux et noethériens
12. Spectre et topologie de Zariski
13. Ouverts principaux et spectres
14. Localisation et division polynomiale
15. Anneaux euclidiens et factorisation
16. Contenu et irréductibilité des polynômes
17. Localisation des anneaux et des idéaux
18. Division euclidienne et PGCD polynomiaux

📖 1. Relations et ensembles quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’équivalence : Relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
• Classe d’équivalence : Ensemble des éléments en relation avec x, dont l’ensemble forme le quotient E/R.
• Relation d’ordre : Réflexive, transitive et antisymétrique ; elle est totale si deux éléments quelconques sont comparables.

★ À maîtriser

• Pour une application f:E→F, la relation xRy définie par f(x)=f(y) permet de factoriser f en la surjection canonique π:E→E/R suivie d’une application injective de E/R vers f(E).

Compléments

• Deux classes d’équivalence sont égales ou disjointes, et l’ensemble des classes forme une partition de l’ensemble de départ.

📌 Dans un ensemble ordonné non vide où toute chaîne admet un majorant, le lemme de Zorn garantit l’existence d’un élément maximal.

📖 2. Groupes quotients et isomorphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-groupe distingué : Sous-groupe H de G tel que, pour tout g∈G, gH=Hg.

★ À maîtriser

📌 La loi (xH)(yH)=(xy)H sur G/H est bien définie si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G.

• Si H est distingué dans G, le quotient G/H est un groupe et il est abélien lorsque G est abélien.

📌 Le premier théorème d’isomorphisme donne un isomorphisme G/ker f vers Im(f) pour tout homomorphisme de groupes f:G→G′.

Compléments

📌 Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ.

📌 Pour un groupe fini G et un sous-groupe H, l’ordre de H divise l’ordre de G ; en particulier, l’ordre de tout élément de G divise l’ordre de G.

💡 Astuce mémo

La normalité de H rend la multiplication des classes bien définie.

📖 3. Anneaux et morphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau : Ensemble muni d’une addition qui en fait un groupe abélien et d’une multiplication associative avec unité, distributive par rapport à l’addition.
• Morphisme d’anneaux : Application qui préserve l’addition, la multiplication et l’unité multiplicative.
• Élément inversible : Un élément u d’un anneau est inversible s’il possède un élément v tel que uv=vu=1 ; l’ensemble des éléments inversibles forme un groupe multiplicatif.

📝 Points essentiels

📌 Un anneau est commutatif lorsque sa multiplication est commutative ; l’anneau des matrices carrées de taille n×n sur R est non commutatif pour n≥2.

📌 Tout morphisme d’anneaux envoie un élément inversible u sur un élément inversible et vérifie f(u⁻¹)=f(u)⁻¹.

• Dans un anneau commutatif, la formule du binôme de Newton donne (x+y)ⁿ=∑ᵢ₌₀ⁿ C(n,i)xⁱyⁿ⁻ⁱ pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

L’addition est commutative, la multiplication ne l’est pas nécessairement.

📖 4. Modules et anneaux de polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• A-module : Groupe abélien muni d’une multiplication externe par les éléments de A, compatible avec l’addition, le produit dans A et l’unité.

★ À maîtriser

• L’anneau A[X] des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif A est commutatif et unitaire, et A s’y identifie au sous-anneau des polynômes constants.

Compléments

📐 Formule - Pour deux polynômes a et b, le coefficient de degré k de leur produit vérifie $c_k=\sum_{j=0}^{k}a_jb_{k-j}$.

💡 Astuce mémo

Un polynôme est une suite de coefficients dont la queue est nulle.

📖 5. Anneau des polynômes et degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme à coefficients dans A : Suite d’éléments de A dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini, et l’ensemble de ces suites se note A[X].
• Degré d’un polynôme : Plus grand indice de son coefficient non nul pour un polynôme non nul ; le degré du polynôme nul est fixé à −∞.
• Polynôme unitaire : Polynôme non nul dont le coefficient dominant vaut 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour des polynômes P et Q, le coefficient de degré k dans leur produit est $c_k=\sum_{i+j=k}a_i b_j=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}$.

• L’injection canonique de A dans A[X] identifie les éléments de A aux polynômes constants, et tout polynôme s’écrit de façon unique $P=\sum_{i=0}^{N}a_iX^i$.

📌 Pour tous polynômes P et Q, d(P+Q)≤max(d(P),d(Q)), avec égalité si d(P)≠d(Q), et d(PQ)≤d(P)+d(Q), avec égalité si le produit de leurs coefficients dominants est non nul.

📖 6. Idéaux et anneaux quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Idéal bilatère : Sous-groupe additif de A stable par multiplication à gauche et à droite par tout élément de A.
• Anneau quotient : Pour un idéal bilatère I de R, ensemble des classes modulo I muni des opérations induites par celles de R ; la projection canonique R→R/I est un morphisme d’anneaux.
• Idéal principal : Un idéal I d’un anneau commutatif A est principal s’il existe a∈A tel que I=(a)={xa∣x∈A}.
• Somme et produit d’idéaux : Pour deux idéaux I et J d’un anneau commutatif A, I+J={a+b∣a∈I,b∈J} et IJ est l’ensemble des sommes finies de produits ab avec a∈I et b∈J ; I+J est le plus petit idéal contenant I et J.

📝 Points essentiels

• Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal bilatère de l’anneau de départ.

• Pour un morphisme d’anneaux f:R→S, l’image Im(f) est un sous-anneau de S et R/ker(f) est isomorphe à Im(f).

📖 7. Primalité et intégrité des anneaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Idéal premier : Idéal propre p d’un anneau commutatif R tel que, pour tous a,b∈R, ab∈p implique a∈p ou b∈p.
• Anneau intègre : Un anneau commutatif R est intègre s’il est non nul et si ab=0 implique a=0 ou b=0.
• Diviseur de zéro : Un élément non nul a d’un anneau commutatif est un diviseur de zéro s’il existe un élément non nul b tel que ab=0.
• Élément nilpotent : Un élément x d’un anneau est nilpotent s’il existe un entier naturel non nul n tel que xⁿ=0.

★ À maîtriser

📌 Un idéal propre p d’un anneau commutatif R est premier si et seulement si l’anneau quotient R/p est intègre.

Compléments

• Dans Z/6Z, la classe de 2 est un diviseur de zéro puisque 2·3=0.

💡 Astuce mémo

Un idéal premier se teste dans le quotient : le quotient est intègre.

📖 8. Arithmétique entière et universalité

★ À maîtriser

• Tout idéal de Z est de la forme nZ pour un unique entier naturel n, donc Z est un anneau principal.

📐 Formule - Pour tous entiers n et m, $n\mathbb{Z}+m\mathbb{Z}=\operatorname{pgcd}(n,m)\mathbb{Z}$ et il existe u,v∈Z tels que $\operatorname{pgcd}(n,m)=un+vm$.

• Tout entier n∈Z{−1,0,1} se décompose de manière unique en un signe ε∈{−1,1} multiplié par des puissances de nombres premiers distincts rangés dans l’ordre croissant.

• Pour un morphisme f:A[X]→B entre anneaux commutatifs, le choix de f|A et de l’image β de X détermine f de façon unique par f(∑aᵢXⁱ)=∑f(aᵢ)βⁱ.

Compléments

📌 Dans Z, si un nombre premier p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b.

📖 9. Morphismes et anneaux particuliers

★ À maîtriser

📌 Tout morphisme d’anneaux f : A → B envoie les éléments inversibles de A sur des éléments inversibles de B et vérifie f(a⁻¹) = f(a)⁻¹.

📌 Tout morphisme d’anneaux entre deux corps est injectif, car son noyau est réduit à {0}.

• Tout morphisme d’anneaux f : Q → Q est l’identité.

📌 Tout morphisme d’anneaux f : R → R est l’identité, tandis qu’un morphisme f : C → C qui fixe R est soit l’identité, soit la conjugaison complexe.

Compléments

• Pour tout ensemble non vide X et tout a ∈ X, l’application d’évaluation f_a : F(X, R) → R, définie par f_a(φ) = φ(a), est un morphisme d’anneaux.

• La projection Z → Z/5Z est surjective, mais l’image des inversibles de Z est {1, 4}, tandis que les inversibles de Z/5Z sont {1, 2, 3, 4}.

💡 Astuce mémo

Un morphisme préserve les opérations, mais pas nécessairement tous les inversibles

📖 10. Normes et anneaux quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau Z[√2] : Le plus petit sous-anneau de R contenant Z et √2.

★ À maîtriser

• Les seuls inversibles de Z[i] sont {−1, 1, −i, i}.

• Dans Z[√2], la norme N(a + b√2) = a² − 2b² est multiplicative et les inversibles sont {±(1 + √2)ⁿ ∣ n ∈ Z}.

📌 L’anneau H des matrices de la forme [[a, −b], [b, a]], avec a, b ∈ C, est un corps non commutatif : tout élément non nul est inversible, mais la multiplication n’est pas commutative.

Compléments

• Dans l’anneau des entiers de Gauss Z[i], la norme N(a + ib) = a² + b² est un entier naturel et elle est multiplicative.

• Dans l’anneau des entiers d’Eisenstein Z[j], avec j = e²ⁱπ/³, la norme N(a + jb) = a² − ab + b² est un entier naturel et elle est multiplicative.

📖 11. Idéaux maximaux et noethériens

🔑 Notions clés & Définitions

• Idéal maximal : Un idéal propre de R qui n’est contenu dans aucun idéal propre strictement plus grand que m.
• Anneau local : Un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal m ; le quotient A/m est appelé son corps résiduel.
• Anneau noethérien : Un anneau dont chacun des idéaux est engendré par un nombre fini d’éléments.
• Radical de Jacobson : L’intersection de tous les idéaux maximaux de A.

★ À maîtriser

• Tout anneau non nul possède au moins un idéal maximal.

• Un idéal m est maximal si et seulement si le quotient A/m est un corps ; tout idéal maximal est donc premier.

• Pour un anneau A, être noethérien équivaut à ce que toute suite croissante d’idéaux soit stationnaire et à ce que tout ensemble non vide d’idéaux possède un élément maximal pour l’inclusion.

• Le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau commutatif noethérien, alors A[X] est noethérien, et donc A[X₁, …, Xₙ] l’est aussi. - Théorème de Hilbert

Compléments

📌 Si f : A → B est un morphisme d’anneaux et I est un idéal de B, alors f⁻¹(I) est un idéal de A.

📌 Si f : A → B est un morphisme surjectif et J est un idéal de A, alors f(J) est un idéal de B.

💡 Astuce mémo

Idéal maximal → quotient corps

📖 12. Spectre et topologie de Zariski

🔑 Notions clés & Définitions

• Nilradical : Le nilradical Nil(A) est l’ensemble des éléments nilpotents de A, c’est-à-dire des éléments x tels qu’il existe n ≥ 1 avec xⁿ = 0 ; il est égal à l’intersection des idéaux premiers de A.
• Spectre d’un anneau : L’ensemble des idéaux premiers de A.
• Fermé de Zariski V(I) : Pour un idéal I de A, l’ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent I ; ces ensembles sont les fermés de la topologie de Zariski sur Spec(A).
• Idéal premier minimal : Un idéal premier est minimal au-dessus de I s’il est minimal parmi les idéaux premiers contenant I ; il est minimal dans A lorsqu’il est minimal au-dessus de l’idéal nul.
• Ouvert principal : Pour f ∈ A, l’ouvert principal D(f) est l’ensemble des idéaux premiers qui ne contiennent pas f ; son complémentaire est V((f)).

📝 Points essentiels

• Pour des idéaux I et J, on a V(I ∩ J) = V(IJ) = V(I) ∪ V(J), et pour toute famille d’idéaux (Iα), V(∑α Iα) = ⋂α V(Iα).

💡 Astuce mémo

Les idéaux premiers sont des points, et les ensembles V(I) en sont les fermés

📖 13. Ouverts principaux et spectres

★ À maîtriser

• Dans Spec(A), tout ouvert U est la réunion des ouverts principaux D(f) qu’il contient, et l’on peut écrire U = ⋃_{f∈I} D(f) lorsque U = Spec(A) ∖ V(I).

Compléments

• Les idéaux premiers de ℤ sont l’idéal nul (0) et les idéaux (p), où p est un nombre premier, donc Spec(ℤ) = {(0)} ∪ {(p) ∣ p premier}.

• Pour un corps k, Spec(k) = {(0)}, Spec(k[t]) est constitué de (0) et des idéaux engendrés par les polynômes irréductibles, et Spec(k[t]/t²) se réduit à l’idéal engendré par la classe de t.

📖 14. Localisation et division polynomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie multiplicative : Partie d’un anneau R qui contient 1, ne contient pas 0 et est stable par multiplication.
• Localisation : La localisation S⁻¹R est un anneau où les images des éléments de S sont inversibles et qui vérifie la propriété universelle suivante : tout morphisme de R vers un anneau B rendant inversibles les images de S se factorise de manière unique par S⁻¹R.
• Division euclidienne : Si A est un anneau intègre et si Q ∈ A[X] est non nul à coefficient dominant inversible, tout P ∈ A[X] s’écrit de manière unique P = QS + R, avec S,R ∈ A[X] et R = 0 ou deg(R) < deg(Q).

★ À maîtriser

• Si A est intègre, sa localisation par A∖{0} est son corps des fractions : Frac(A) = (A∖{0})⁻¹A.

Compléments

📐 Formule - Dans S⁻¹R, les fractions vérifient $\frac{r}{s}+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'}$ et $\frac{r}{s}\cdot\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}$.

📖 15. Anneaux euclidiens et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau euclidien : Un anneau intègre A est euclidien s’il possède un stathme v : A∖{0} → ℕ permettant, pour tout a ∈ A et b ≠ 0, une division a = bq + r avec r = 0 ou v(r) < v(b), et vérifiant v(b) ≤ v(ab) pour a,b ≠ 0.

★ À maîtriser

• Tout anneau euclidien est principal, et tout anneau principal est noethérien ; dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal.

📌 Un élément premier est toujours irréductible dans un anneau intègre, mais un élément irréductible n’est pas toujours premier ; dans un anneau principal ou factoriel, les deux notions coïncident.

• Tout anneau principal est factoriel : chaque élément non nul et non inversible s’y décompose en irréductibles, de manière unique à l’ordre et aux éléments associés près.

Compléments

• L’anneau K[X] est euclidien pour le stathme degré, et l’anneau des entiers de Gauss ℤ[i] est euclidien pour la norme N(a+ib) = a²+b².

• Dans un anneau principal, le PGCD de a et b engendre l’idéal (a,b) et s’écrit au+bv pour certains u,v dans l’anneau.

💡 Astuce mémo

Dans un anneau principal, irréductible implique premier ; dans un anneau intègre quelconque, seule l’implication inverse est générale.

📖 16. Contenu et irréductibilité des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Contenu d’un polynôme : Le contenu c(P) d’un polynôme non nul P ∈ A[X], lorsque A est factoriel, est un PGCD de ses coefficients ; P est primitif si ce contenu est inversible.

📝 Points essentiels

• Le lemme de Gauss affirme que, pour deux polynômes non nuls P et Q à coefficients dans un anneau factoriel, c(PQ) = c(P)c(Q) à une unité près ; le produit de deux polynômes primitifs est donc primitif.

• Le théorème de Gauss affirme que si A est factoriel, alors A[X] est factoriel.

📌 Le critère d’Eisenstein assure l’irréductibilité de Q = aₙXⁿ + ⋯ + a₀ dans A[X] si A est factoriel, Q est primitif, un irréductible p de A ne divise pas aₙ, p divise tous les coefficients a₀,…,aₙ₋₁ et p² ne divise pas a₀.

📖 17. Localisation des anneaux et des idéaux

★ À maîtriser

• Pour un idéal I d’un anneau A et une partie multiplicative S, la localisation de son radical vérifie √(S⁻¹I) = S⁻¹(√I).

• Pour des idéaux I et J de A et une partie multiplicative S, la localisation commute avec leur somme, leur produit et leur intersection : S⁻¹(I + J) = S⁻¹I + S⁻¹J, S⁻¹(IJ) = (S⁻¹I)(S⁻¹J) et S⁻¹(I ∩ J) = S⁻¹I ∩ S⁻¹J.

• Si p est un idéal premier de R, la localisation Rₚ est un anneau local dont l’unique idéal maximal est constitué des fractions de numérateur dans p et de dénominateur hors de p.

• Pour l’homomorphisme canonique i : A → S⁻¹A, on a ker(i) = {a ∈ A | il existe s ∈ S tel que sa = 0}, et i est injectif si et seulement si chaque élément de S est simplifiable dans A.

Compléments

• La localisation établit une bijection entre les idéaux premiers de S⁻¹R et les idéaux premiers de R disjoints de S, par contraction et extension.

📖 18. Division euclidienne et PGCD polynomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Système fondamental d’idempotents orthogonaux : Un système fondamental d’idempotents orthogonaux d’un anneau commutatif A est une famille non nulle d’éléments deux à deux orthogonaux dont la somme vaut 1A.
• Fonction d’Euler : La fonction d’Euler φ(m) est le nombre de classes inversibles de Z/mZ, c’est-à-dire le nombre d’entiers a tels que 0 ≤ a < m et pgcd(a,m) = 1 ; par convention, φ(1) = 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans K[X], si A = BQ + R avec R = 0 ou deg(R) < deg(B), alors $\operatorname{PGCD}(A,B)=\operatorname{PGCD}(B,R)$ à multiplication par une constante non nulle près.

• L’algorithme d’Euclide pour les polynômes répète les divisions euclidiennes en remplaçant le couple (A,B) par (B,R), jusqu’à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est un PGCD.

📐 Formule - Pour tous a,b ∈ ℕ*, $\operatorname{PGCD}(X^a-1,X^b-1)=X^{\operatorname{pgcd}(a,b)}-1$.

• Pour un corps K, l’idéal (P) de K[X] est maximal lorsque P est irréductible, et le quotient K[X]/(P) est alors un corps.

• Un polynôme de degré 2 sur un corps est irréductible s’il n’a aucune racine dans ce corps ; ainsi X² + X + 1 est irréductible sur F₂ et son quotient donne un corps à 4 éléments.

📌 Le critère d’Eisenstein affirme qu’un polynôme est irréductible sur Q si un nombre premier divise tous ses coefficients sauf le coefficient dominant, ne divise pas ce coefficient dominant et dont le carré ne divise pas le coefficient constant.

• Dans Z[i√5], les seuls éléments inversibles sont 1 et −1.

• L’anneau Z[i√5] n’est pas factoriel, car les éléments 3 et 2 + i√5 ont 1 comme PGCD mais n’ont pas de PPCM.

• Dans A = A₁ × ⋯ × Aₙ, les éléments eᵢ ayant 1 dans la iᵉ coordonnée et 0 ailleurs vérifient eᵢ ≠ 0, eᵢeⱼ = 0 pour i ≠ j, ∑ᵢeᵢ = 1 et eᵢ² = eᵢ.

• Si un anneau commutatif A contient un système fondamental de n idempotents orthogonaux avec n ≥ 2, alors A est isomorphe à un produit de n anneaux.

📌 Deux idéaux I et J d’un anneau A sont comaximaux lorsque I + J = A, ce qui équivaut à l’existence de i ∈ I et j ∈ J tels que i + j = 1A.

• Pour deux idéaux comaximaux I et J de A, l’application canonique A → A/I × A/J est surjective, a pour noyau I ∩ J et induit l’isomorphisme A/(I ∩ J) ≅ A/I × A/J.

• Si m1, …, mn sont des entiers non nuls deux à deux premiers entre eux, alors Z/(m1⋯mn)Z ≅ Z/m1Z × ⋯ × Z/mnZ.

📌 Une classe a dans Z/mZ est inversible si et seulement si son représentant entier a est premier avec m.

💡 Astuce mémo

Division, reste de degré décroissant, puis arrêt au reste nul.