Fiche de révision : Nombres et triangles semblables

📋 Plan du Cours

1. Calculs avec les nombres relatifs
2. Opérations sur les fractions
3. Puissances et notation scientifique
4. Préfixes et puissances de dix
5. Proportionnalité et produit en croix
6. Triangles semblables
7. Expressions et repérage

📖 1. Calculs avec les nombres relatifs

★ À maîtriser

• La somme de deux nombres relatifs de même signe garde ce signe et sa distance à zéro est la somme des distances à zéro.

• La somme de deux nombres relatifs de signes différents prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro et sa distance à zéro est la différence des distances à zéro.

• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes différents est négatif.

Compléments

📌 Dans les calculs présentés, les multiplications et divisions sont effectuées avant les additions et soustractions, sauf lorsque des parenthèses imposent un autre regroupement.

💡 Astuce mémo

Même signe : somme des distances ; signes différents : différence des distances.

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.

• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on conserve ce dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les transforme en fractions de même dénominateur à l’aide de fractions égales, puis on opère sur les numérateurs.

Compléments

• Pour convertir un entier en fraction afin de l’additionner à une fraction, on peut l’écrire sur 1 puis lui donner le dénominateur commun ; par exemple, $2+\frac{3}{4}=\frac{8}{4}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$.

📖 3. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’exposant positif : Produit répété de sa base par elle-même.
• Écriture scientifique : Écriture de la forme $a\times10^n$, où n est un entier relatif et a est un nombre décimal compris entre 1 et 10.

★ À maîtriser

📌 Un exposant négatif transforme la puissance en fraction inverse : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, comme $2^{-2}=\frac{1}{4}$.

Compléments

📌 Avec des parenthèses, $(-4)^2=16$, tandis que sans parenthèses $-9^2=-81$ dans l’exemple du cours.

• Pour écrire un nombre décimal en notation scientifique, on place son premier chiffre non nul devant la virgule et on choisit l’exposant de 10 correspondant au déplacement de la virgule.

• Un million s’écrit $10^6$, dix mille $10^4$, un centième $10^{-2}$ et dix milliards $10^{10}$.

💡 Astuce mémo

Déplacer la virgule pour placer le premier chiffre non nul devant elle.

📖 4. Préfixes et puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Préfixe d’unité : Élément qui simplifie le nom et l’écriture d’une mesure exprimée en puissance de dix d’une unité.

★ À maîtriser

• Les préfixes et puissances de dix du cours sont giga (G, $10^9$), méga (M, $10^6$), kilo (k, $10^3$), unité ($10^0=1$), milli (m, $10^{-3}$), micro (µ, $10^{-6}$) et nano (n, $10^{-9}$).

Compléments

• Un milliard s’écrit $10^9$.

📖 5. Proportionnalité et produit en croix

★ À maîtriser

📌 Dans un tableau de proportionnalité, on peut calculer une valeur manquante en multipliant les deux valeurs de la diagonale connue puis en divisant par la troisième valeur.

• Pour résoudre une égalité de proportions par produit en croix, on multiplie les valeurs en croix puis on divise par la valeur restante.

Compléments

• Dans la proportion $\frac{5}{42}=\frac{x}{126}$, le produit en croix donne $x=\frac{5\times126}{42}=15$.

📖 6. Triangles semblables

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Triangles dont les angles sont égaux deux à deux et qui ont la même forme.

★ À maîtriser

• Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer que deux paires d’angles correspondants ont la même mesure.

• Dans deux triangles semblables, les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles : $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$.

• Dans la proportion des côtés correspondants, $k<1$ indique une réduction et $k>1$ un agrandissement du triangle comparé au triangle de référence.

Compléments

📌 Pour reconnaître deux triangles semblables par leurs côtés, on vérifie que les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants sont égaux.

• Dans l’exemple du cours, les rapports $\frac{3}{4{,}5}$, $\frac{4}{6}$ et $\frac{5}{7{,}5}$ sont tous égaux à $\frac{2}{3}$, ce qui établit la similitude des triangles.

💡 Astuce mémo

Angles égaux établissent la similitude ; côtés proportionnels la caractérisent.

📖 7. Expressions et repérage

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère : Dans un point écrit $A(x;y)$, première coordonnée appelée abscisse et deuxième coordonnée appelée ordonnée.

📝 Points essentiels

• Pour calculer la valeur d’une expression littérale, on remplace la variable par sa valeur puis on effectue les opérations ; par exemple, pour $A=2x+9$ et $x=7$, on obtient $A=23$.