Fiche de révision : Arithmétique dans l’anneau des entiers

📋 Plan du Cours

1. Structure additive de Z
2. Structure multiplicative de Z
3. Division euclidienne
4. PGCD et PPCM
5. Nombres premiers et algorithme d’Euclide

📖 1. Structure additive de Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe commutatif : L’ensemble $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe commutatif, car l’addition est interne, associative, possède un élément neutre 0, tout entier admet un opposé et l’addition est commutative.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier relatif a, 0 est neutre pour l’addition et l’opposé −a vérifie a+(−a)=(−a)+a=0.

Compléments

📌 Pour tous entiers relatifs a et b, leur somme a+b est encore un entier relatif.

📌 Pour tous entiers relatifs a, b et c, l’addition vérifie a+(b+c)=(a+b)+c.

💡 Astuce mémo

GCA : groupe commutatif abélien

📖 2. Structure multiplicative de Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau des entiers : $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ est un anneau, car la multiplication est interne et associative, possède l’élément neutre 1 et est distributive par rapport à l’addition.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous entiers relatifs a, b et c, la distributivité vérifie $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Compléments

📌 Pour tous entiers relatifs a et b, leur produit a·b est encore un entier relatif.

📌 Pour tous entiers relatifs a, b et c, la multiplication vérifie a·(b·c)=(a·b)·c.

💡 Astuce mémo

Distributivité de la multiplication → structure d’anneau

📖 3. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour tout couple d’entiers relatifs (a,b) avec b≠0, il existe un unique couple d’entiers relatifs (q,r) tel que $a=bq+r$ et $0\le r<|b|$.

📝 Points essentiels

📌 Dans une division euclidienne, q est le quotient et r est le reste de la division de a par b.

📐 Formule — Pour des entiers naturels a et b avec b≠0, la division euclidienne vérifie $a=bq+r$ et $0\le r<b$.

💡 Astuce mémo

Quotient q et reste r : 0 ≤ r < |b|

📖 4. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux entiers relatifs a et b non tous les deux nuls est le plus grand entier naturel qui divise simultanément a et b.
• PPCM : Le PPCM de deux entiers relatifs a et b non nuls est le plus petit entier naturel qui est un multiple commun de a et b.
• Diviseurs communs : Pour deux entiers a et b non tous les deux nuls, D(a,b) est l’ensemble de leurs diviseurs communs et PGCD(a,b)=max D(a,b).

💡 Astuce mémo

PGCD : diviseur commun maximal ; PPCM : multiple commun minimal

📖 5. Nombres premiers et algorithme d’Euclide

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.
• Décomposition en facteurs premiers : Tout entier a>1 s’écrit de manière unique sous la forme $a=p_1^{\omega_1}p_2^{\omega_2}\cdots p_k^{\omega_k}$, où les p_i sont des nombres premiers vérifiant p_1<p_2<⋯<p_k et où les exposants ω_i sont strictement positifs.

★ À maîtriser

• La réduction du calcul du PGCD suit le remplacement du couple (a,b) par (b,r), où r est le reste obtenu dans l’écriture a=bq+r.

📌 Si a=bq+r avec b≠0, alors les ensembles de diviseurs communs vérifient D(a,b)=D(b,r), donc PGCD(a,b)=PGCD(b,r).

Compléments

📌 Le nombre 1 n’est pas un nombre premier.

💡 Astuce mémo

Division → reste → nouveau couple → PGCD