QCM : Arithmétique dans l’anneau des entiers — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la structure additive de Z\mathbb{Z}, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’addition des entiers relatifs est associative et concerne le regroupement des termes.
L’addition des entiers relatifs n’est pas commutative lorsque les termes sont négatifs.
L’élément neutre de l’addition des entiers relatifs est le nombre 11.
Tout entier relatif possède un opposé dont la somme avec lui vaut zéro.
L’addition de deux entiers relatifs produit encore un entier relatif.

L’addition des entiers relatifs est associative et concerne le regroupement des termes. · Tout entier relatif possède un opposé dont la somme avec lui vaut zéro. · L’addition de deux entiers relatifs produit encore un entier relatif.

Explication

L’addition des entiers est interne, associative et commutative, avec 0 comme neutre et un opposé pour chaque entier. L’associativité concerne le regroupement des termes, tandis que l’opposé permet d’obtenir 0.

2. Parmi les propositions suivantes concernant (Z,+)\left(\mathbb{Z},+\right), la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’ensemble Z\mathbb{Z} ne possède pas d’opposés pour ses éléments additifs.
L’associativité de l’addition consiste à permuter l’ordre des termes.
L’addition vérifie a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c pour tous entiers relatifs.
L’opposé de aa est noté −a-a et vérifie a+(−a)=0a+(-a)=0.
Pour tout entier relatif aa, on a a+0=0+a=aa+0=0+a=a.

L’addition vérifie $$a+(b+c)=(a+b)+c$$ pour tous entiers relatifs. · L’opposé de $$a$$ est noté $$-a$$ et vérifie $$a+(-a)=0$$. · Pour tout entier relatif $$a$$, on a $$a+0=0+a=a$$.

Explication

Dans la structure additive, 0 est l’élément neutre et chaque entier possède un opposé. L’addition est commutative, et son associativité porte sur le regroupement, non sur l’ordre des termes.

3. Les caractéristiques de la structure multiplicative de Z\mathbb{Z} comprennent :

Le produit de deux entiers relatifs est encore un entier relatif.
Le nombre 11 est l’élément neutre de la multiplication entière.
La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
La multiplication des entiers relatifs est associative.
La structure d’anneau repose sur l’existence d’un opposé multiplicatif pour chaque entier.

Le produit de deux entiers relatifs est encore un entier relatif. · Le nombre $$1$$ est l’élément neutre de la multiplication entière. · La multiplication est distributive par rapport à l’addition. · La multiplication des entiers relatifs est associative.

Explication

Un anneau exige notamment une multiplication interne et associative, un élément neutre multiplicatif 1 et la distributivité par rapport à l’addition. La multiplication des entiers est interne, tandis que la distributivité s’écrit selon la formule indiquée.

4. Concernant les règles multiplicatives dans Z\mathbb{Z}, quelles sont les réponses exactes ?

L’associativité permet de remplacer une multiplication par une addition.
L’associativité multiplicative concerne le regroupement des facteurs.
La distributivité s’écrit a⋅(b+c)=a+b⋅ca\cdot(b+c)=a+b\cdot c.
Pour tous entiers relatifs, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.
La multiplication vérifie a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.

L’associativité multiplicative concerne le regroupement des facteurs. · Pour tous entiers relatifs, $$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$. · La multiplication vérifie $$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$.

Explication

La distributivité relie la multiplication à l’addition par a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c. L’associativité de la multiplication concerne le regroupement des facteurs et ne rend pas les opérations interchangeables.

5. Concernant la division euclidienne d’entiers relatifs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le couple formé par le quotient et le reste est unique.
Le quotient qq peut prendre une valeur négative selon les entiers choisis.
Pour b≠0b\neq0, on peut écrire a=bq+ra=bq+r avec 0≤r<∣b∣0\le r<|b|.
Le reste rr est toujours positif ou nul dans cette division.
La condition sur le reste est 0≤r<∣q∣0\le r<|q|.

Le couple formé par le quotient et le reste est unique. · Le quotient $$q$$ peut prendre une valeur négative selon les entiers choisis. · Pour $$b\neq0$$, on peut écrire $$a=bq+r$$ avec $$0\le r<|b|$$. · Le reste $$r$$ est toujours positif ou nul dans cette division.

Explication

Pour un diviseur non nul, il existe un unique couple d’entiers q,rq,r satisfaisant a=bq+ra=bq+r avec 0≤r<∣b∣0\le r<|b|. Le reste est borné par la valeur absolue du diviseur, tandis que le quotient peut être négatif.

6. Concernant le PGCD de deux entiers relatifs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le PGCD est le plus petit entier naturel multiple simultanément des deux entiers.
Le PGCD est le plus grand entier naturel divisant simultanément les deux entiers.
Le PGCD est défini lorsque les deux entiers sont simultanément nuls.
Pour deux entiers non tous deux nuls, PGCD⁡(a,b)=max⁡D(a,b)\operatorname{PGCD}(a,b)=\max D(a,b).
L’ensemble D(a,b)D(a,b) regroupe les multiples communs de aa et bb.

Le PGCD est le plus grand entier naturel divisant simultanément les deux entiers. · Pour deux entiers non tous deux nuls, $$\operatorname{PGCD}(a,b)=\max D(a,b)$$.

Explication

Le PGCD est le plus grand entier naturel divisant simultanément les deux entiers. Il correspond donc à un diviseur commun maximal, tandis que le PPCM est un multiple commun minimal. La notation D(a,b)D(a,b) désigne l’ensemble des diviseurs communs et le PGCD en est le maximum.

7. À propos du PPCM de deux entiers relatifs, quelles sont les propositions exacte(s) ?

Le PPCM est un diviseur commun maximal des deux entiers.
Le PPCM concerne des multiples communs, contrairement au PGCD concernant des diviseurs communs.
Le PPCM est obtenu comme le maximum de l’ensemble des diviseurs communs.
Le PPCM est défini pour deux entiers qui sont tous deux non nuls.
Le PPCM est le plus petit entier naturel multiple commun aux deux entiers.

Le PPCM concerne des multiples communs, contrairement au PGCD concernant des diviseurs communs. · Le PPCM est défini pour deux entiers qui sont tous deux non nuls. · Le PPCM est le plus petit entier naturel multiple commun aux deux entiers.

Explication

Le PPCM est le plus petit entier naturel qui est un multiple commun de deux entiers non nuls. Il concerne donc les multiples communs, contrairement au PGCD, qui concerne les diviseurs communs. La définition exclut le cas où l’un des deux entiers est nul.

8. Les caractéristiques de la décomposition en facteurs premiers d’un entier a>1a>1 comprennent :

Des exposants de facteurs premiers strictement positifs.
Une écriture sous forme de produit de puissances de nombres premiers.
Une unicité de la décomposition lorsque les facteurs sont ordonnés.
Une écriture fondée sur des facteurs entiers composés ordonnés.
Des nombres premiers apparaissant dans un ordre croissant.

Des exposants de facteurs premiers strictement positifs. · Une écriture sous forme de produit de puissances de nombres premiers. · Une unicité de la décomposition lorsque les facteurs sont ordonnés. · Des nombres premiers apparaissant dans un ordre croissant.

Explication

Tout entier a>1a>1 possède une décomposition en facteurs premiers unique. Les nombres premiers y sont écrits dans l’ordre croissant et leurs exposants sont strictement positifs. Une factorisation quelconque ne garantit ni cette unicité ni cet ordre.

9. Si a=bq+ra=bq+r avec b≠0b\ne0, quelles sont les propositions exacte(s) concernant le PGCD ?

Le reste rr permet de réduire le calcul du PGCD.
Le remplacement conserve le premier terme et modifie le second.
Les ensembles de diviseurs communs vérifient D(a,b)=D(b,r)D(a,b)=D(b,r).
Le quotient qq détermine directement le PGCD à la place du reste.
On a PGCD⁡(a,b)=PGCD⁡(b,r)\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(b,r).

Le reste $$r$$ permet de réduire le calcul du PGCD. · Les ensembles de diviseurs communs vérifient $$D(a,b)=D(b,r)$$. · On a $$\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(b,r)$$.

Explication

Lorsque a=bq+ra=bq+r avec b≠0b\ne0, les diviseurs communs de a,ba,b sont exactement ceux de b,rb,r. Le PGCD est donc invariant lors du remplacement de (a,b)(a,b) par (b,r)(b,r). Le reste intervient comme second terme, et non le quotient.

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Pourquoi $(\mathbb{Z},+)$ est-il un groupe commutatif ?

Parce que l'addition est interne, associative, possède un neutre 0, chaque entier a un opposé, et elle est commutative.

Qu'impose la fermeture de l'addition sur les entiers relatifs ?

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Quelle propriété d'associativité vérifie l'addition sur les entiers relatifs ?

Pour tous a,b,c, on a a+(b+c)=(a+b)+c.

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