QCM : Continuité et dérivation — 10 questions

Question 1

1. Quelle distinction décrit correctement la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point $a$ ?

La dérivabilité en

a

concerne la valeur de la fonction, tandis que la continuité concerne sa pente.

La continuité en

a

implique une dérivabilité en

a

, mais l’inverse n’est pas garanti.

La dérivabilité en

a

implique une continuité en

a

, mais l’inverse n’est pas garanti.

La continuité et la dérivabilité en

a

désignent deux propriétés équivalentes.

Explication

La dérivabilité en $a$ est une propriété plus forte qui entraîne la continuité en ce point, tandis qu’une fonction continue peut ne pas être dérivable. Confondre ces deux notions revient donc à considérer à tort qu’elles sont équivalentes.

Answer

La dérivabilité en $$a$$ implique une continuité en $$a$$, mais l’inverse n’est pas garanti.

Question 2

2. Une fonction est continue en $a$ mais présente un angle en ce point ; que peut-on conclure concernant sa dérivabilité en $a$ ?

Elle peut être continue sans être dérivable en

a

.

Elle devient dérivable dès que ses valeurs à gauche et à droite coïncident.

Elle est nécessairement dérivable puisque sa continuité est établie.

Elle n’est ni continue ni dérivable, car un angle crée une rupture.

Explication

La présence d’un angle peut empêcher l’existence d’une pente unique, même si la fonction reste continue en $a$ . La continuité ne suffit donc pas à assurer la dérivabilité.

Answer

Elle peut être continue sans être dérivable en $$a$$.

Question 3

3. Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $f(a)$ , quelle propriété possède la fonction composée $g\circ f$ en $a$ ?

Elle est dérivable en

f(a)

, indépendamment du comportement de

f

.

Elle est dérivable en

a

.

Elle est continue en

f(a)

, sans conclusion sur sa dérivabilité.

Elle est définie en

a

, mais sa dérivabilité dépend d’une autre condition.

Explication

La règle de dérivation des fonctions composées affirme que la dérivabilité de $f$ en $a$ et celle de $g$ en $f(a)$ assurent la dérivabilité de $g\circ f$ en $a$ . La dérivabilité de $g$ doit donc être considérée au point image $f(a)$ .

Answer

Elle est dérivable en $$a$$.

Question 4

4. Pour appliquer la règle de dérivation à $g\circ f$ au point $a$ , à quel point faut-il vérifier la dérivabilité de $g$ ?

Au point

g(a)

.

Au point

a

.

Au point

f(a)

.

Au point

g(f(a))

.

Explication

Dans une composée, la fonction intérieure $f$ envoie $a$ vers $f(a)$ ; c’est donc en ce point que la dérivabilité de la fonction extérieure $g$ doit être vérifiée. Examiner $g$ en $a$ ne correspond pas à la règle générale.

Answer

Au point $$f(a)$$.

Question 5

5. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$ ?

f'(x)=6x+1

f'(x)=3x^2-2

f'(x)=3x-2

f'(x)=6x-2

Explication

La dérivée de $3x^2$ est $6x$ , celle de $-2x$ est $-2$ , et la constante $1$ a pour dérivée zéro. On obtient donc $f'(x)=6x-2$ .

Answer

$$f'(x)=6x-2$$

Question 6

6. Pour la fonction affine $g(x)=2x+1$ , que représentent les nombres $2$ et $1$ ?

2

est la pente et

1

est la dérivée seconde.

2

est l’ordonnée à l’origine et

1

est la pente inverse.

2

est le terme constant et

1

est la pente.

2

est la pente et

1

est le terme constant.

Explication

Dans l’écriture $g(x)=ax+b$ , le coefficient $a$ représente la pente et le coefficient $b$ représente le terme constant. Ici, $a=2$ et $b=1$ .

Answer

$$2$$ est la pente et $$1$$ est le terme constant.

Question 7

7. Comment varie sur $\mathbb{R}$ la fonction affine définie par $x \mapsto 4x-7$ ?

Elle est croissante sur

\mathbb{R}

Elle est constante sur

\mathbb{R}

Elle change de sens de variation selon la valeur de

x

Elle est décroissante sur

\mathbb{R}

Explication

Le coefficient directeur vaut $4$ , qui est positif ; une fonction affine de coefficient directeur positif est donc croissante sur $\mathbb{R}$ . Un coefficient directeur négatif entraînerait une décroissance, tandis qu’un coefficient nul donnerait une fonction constante.

Answer

Elle est croissante sur $$\mathbb{R}$$

Question 8

8. Une fonction affine est définie par $g(x)=-3x+5$ . Quelle est sa variation sur $\mathbb{R}$ ?

Elle est croissante puis décroissante sur

\mathbb{R}

Elle est croissante sur

\mathbb{R}

Elle est constante sur

\mathbb{R}

Elle est décroissante sur

\mathbb{R}

Explication

Le coefficient directeur de $g$ est $-3$ , donc il est négatif et la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$ . La croissance correspondrait à un coefficient directeur positif, et la constance à un coefficient nul.

Answer

Elle est décroissante sur $$\mathbb{R}$$

Question 9

9. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

f

est croissante sur

I

f

change de variation sur

I

f

est constante sur

I

f

est décroissante sur

I

Explication

Une dérivée strictement positive sur un intervalle indique que la fonction y est croissante. La décroissance est associée à une dérivée strictement négative, tandis qu’une dérivée nulle correspond à une fonction constante.

Answer

$$f$$ est croissante sur $$I$$

Question 10

10. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $h$ vérifie $h'(x)<0$ pour tout $x\in I$ . Quelle propriété possède $h$ sur cet intervalle ?

h

est constante sur

I

h

est décroissante sur

I

h

possède une dérivée nulle sur

I

h

est croissante sur

I

Explication

Une dérivée strictement négative entraîne une décroissance de la fonction sur l’intervalle considéré. Une dérivée strictement positive indiquerait au contraire une croissance, et une dérivée nulle une constance.

Answer

$$h$$ est décroissante sur $$I$$

QCM : Continuité et dérivation — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction décrit correctement la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point $a$ ?

2. Une fonction est continue en $a$ mais présente un angle en ce point ; que peut-on conclure concernant sa dérivabilité en $a$ ?

3. Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $f(a)$ , quelle propriété possède la fonction composée $g\circ f$ en $a$ ?

4. Pour appliquer la règle de dérivation à $g\circ f$ au point $a$ , à quel point faut-il vérifier la dérivabilité de $g$ ?

5. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$ ?

6. Pour la fonction affine $g(x)=2x+1$ , que représentent les nombres $2$ et $1$ ?

7. Comment varie sur $\mathbb{R}$ la fonction affine définie par $x \mapsto 4x-7$ ?

8. Une fonction affine est définie par $g(x)=-3x+5$ . Quelle est sa variation sur $\mathbb{R}$ ?

9. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

10. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $h$ vérifie $h'(x)<0$ pour tout $x\in I$ . Quelle propriété possède $h$ sur cet intervalle ?

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QCM : Continuité et dérivation — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction décrit correctement la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point aaa ?

2. Une fonction est continue en aaa mais présente un angle en ce point ; que peut-on conclure concernant sa dérivabilité en aaa ?

3. Si fff est dérivable en aaa et ggg est dérivable en f(a)f(a)f(a), quelle propriété possède la fonction composée g∘fg\circ fg∘f en aaa ?

4. Pour appliquer la règle de dérivation à g∘fg\circ fg∘f au point aaa, à quel point faut-il vérifier la dérivabilité de ggg ?

5. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^2-2x+1f(x)=3x2−2x+1 ?

6. Pour la fonction affine g(x)=2x+1g(x)=2x+1g(x)=2x+1, que représentent les nombres 222 et 111 ?

7. Comment varie sur R\mathbb{R}R la fonction affine définie par x↦4x−7x \mapsto 4x-7x↦4x−7 ?

8. Une fonction affine est définie par g(x)=−3x+5g(x)=-3x+5g(x)=−3x+5. Quelle est sa variation sur R\mathbb{R}R ?

9. Sur un intervalle III, une fonction dérivable fff vérifie f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 pour tout x∈Ix\in Ix∈I. Quelle conclusion peut-on tirer ?

10. Sur un intervalle III, une fonction dérivable hhh vérifie h′(x)<0h'(x)<0h′(x)<0 pour tout x∈Ix\in Ix∈I. Quelle propriété possède hhh sur cet intervalle ?

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1. Quelle distinction décrit correctement la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point $a$ ?

2. Une fonction est continue en $a$ mais présente un angle en ce point ; que peut-on conclure concernant sa dérivabilité en $a$ ?

3. Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $f(a)$ , quelle propriété possède la fonction composée $g\circ f$ en $a$ ?

4. Pour appliquer la règle de dérivation à $g\circ f$ au point $a$ , à quel point faut-il vérifier la dérivabilité de $g$ ?

5. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$ ?

6. Pour la fonction affine $g(x)=2x+1$ , que représentent les nombres $2$ et $1$ ?

7. Comment varie sur $\mathbb{R}$ la fonction affine définie par $x \mapsto 4x-7$ ?

8. Une fonction affine est définie par $g(x)=-3x+5$ . Quelle est sa variation sur $\mathbb{R}$ ?

9. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $f$ vérifie $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

10. Sur un intervalle $I$ , une fonction dérivable $h$ vérifie $h'(x)<0$ pour tout $x\in I$ . Quelle propriété possède $h$ sur cet intervalle ?