QCM : Arithmétique des entiers — 12 questions

Question 1

1. Lequel décrit correctement un nombre premier ?

Un entier naturel ayant au moins trois diviseurs distincts, dont 1 et lui-même

Un entier naturel divisible par 2 et par un autre nombre premier

Un entier naturel ayant exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même

Un entier naturel dont le seul diviseur est lui-même

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Un nombre ayant au moins trois diviseurs est composé, tandis que la divisibilité par 2 ne définit pas tous les nombres premiers.

Answer

Un entier naturel ayant exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même

Question 2

2. Quand une fraction $\frac{a}{b}$ est-elle irréductible ?

Lorsque son numérateur et son dénominateur sont tous deux des nombres premiers

Lorsque son numérateur est inférieur à son dénominateur

Lorsque son numérateur et son dénominateur ont un diviseur commun supérieur à 1

Lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Ils ne doivent donc pas avoir de diviseur commun supérieur à 1, et leurs valeurs n’ont pas besoin d’être elles-mêmes premières.

Answer

Lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux

Question 3

3. Laquelle des situations suivantes illustre correctement la différence entre un multiple et un diviseur ?

Dans

35=5\times7

,

35

est un multiple de

5

et

5

est un diviseur de

35

.

Dans

35=5\times7

,

35

est le diviseur de

7

et

5

est le reste.

Dans

35=5\times7

,

7

est un diviseur de

5

et

35

est le quotient de

5

.

Dans

35=5\times7

,

5

est un multiple de

35

et

35

est un diviseur de

5

.

Explication

Un multiple est le nombre obtenu par une multiplication, tandis qu’un diviseur est l’un des nombres utilisés pour former ce produit. Ainsi, $35$ est obtenu avec $5\times7$ et $5$ divise $35$ .

Answer

Dans $$35=5\times7$$, $$35$$ est un multiple de $$5$$ et $$5$$ est un diviseur de $$35$$.

Question 4

4. Que peut-on conclure si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à zéro ?

b

est divisible par

a

et

a

divise

b

a

est divisible par

b

et

b

divise

a

a

et

b

ont nécessairement la même valeur

a

est inférieur à

b

et

b

divise

a

Explication

Un reste nul signifie que $a$ s’écrit comme un multiple entier de $b$ , donc que $b$ est un diviseur de $a$ . L’ordre des nombres est important : cette conclusion ne signifie pas que $a$ divise $b$ .

Answer

$$a$$ est divisible par $$b$$ et $$b$$ divise $$a$$

Question 5

5. Quelle affirmation caractérise deux nombres entiers premiers entre eux ?

Ils sont tous deux des nombres premiers

Ils possèdent au moins un diviseur commun supérieur à 1

Leur produit est nécessairement un nombre premier

Leur seul diviseur commun est 1

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcément premiers, et la présence d’un diviseur commun supérieur à 1 exclut cette propriété.

Answer

Leur seul diviseur commun est 1

Question 6

6. Quel énoncé définit un diviseur commun de deux entiers $a$ et $b$ ?

Un entier obtenu en additionnant

a

et

b

Un entier qui est supérieur à la fois à

a

et

b

Un entier qui divise à la fois

a

et

b

Un entier égal à la différence entre

a

et

b

Explication

Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres sans reste. Les opérations d’addition ou de soustraction entre $a$ et $b$ ne définissent pas cette notion.

Answer

Un entier qui divise à la fois $$a$$ et $$b$$

Question 7

7. Comment vérifier que $7\,452$ est divisible par $3$ et par $9$ ?

Former ses deux derniers chiffres et vérifier qu’ils sont dans la table de

4

.

Calculer la somme de ses chiffres et vérifier sa divisibilité par

3

ou

9

.

Observer seulement son chiffre des unités et vérifier qu’il est pair.

Comparer son chiffre des milliers avec son chiffre des centaines.

Explication

La somme des chiffres de $7\,452$ vaut $18$ , qui est un multiple de $3$ et de $9$ : le nombre est donc divisible par ces deux nombres. Le chiffre des unités et les deux derniers chiffres correspondent à d’autres critères de divisibilité.

Answer

Calculer la somme de ses chiffres et vérifier sa divisibilité par $$3$$ ou $$9$$.

Question 8

8. Pour décomposer un entier en facteurs premiers, quelle méthode faut-il appliquer ?

Le diviser successivement par les nombres premiers du plus petit au plus grand, puis s’arrêter selon la racine carrée

Le diviser par des nombres composés du plus grand au plus petit jusqu’à obtenir un quotient entier

Chercher d’abord un diviseur supérieur à la racine carrée, puis poursuivre avec des nombres premiers

Tester tous les nombres impairs avant de conserver les facteurs obtenus

Explication

La décomposition consiste à essayer successivement les nombres premiers dans l’ordre croissant et à s’arrêter lorsqu’aucun diviseur premier inférieur ou égal à la racine carrée n’est trouvé. Commencer par des nombres composés ou par des diviseurs supérieurs à cette limite ne respecte pas la procédure.

Answer

Le diviser successivement par les nombres premiers du plus petit au plus grand, puis s’arrêter selon la racine carrée

Question 9

9. Quelle expression caractérise un nombre entier pair ?

Il peut s’écrire sous la forme

n^2+1

.

Il peut s’écrire sous la forme

2\times n+1

.

Il peut s’écrire sous la forme

n\times(n+1)

.

Il peut s’écrire sous la forme

2\times n

.

Explication

Tout nombre de la forme $2\times n$ est pair, car il est divisible par $2$ . La forme $2\times n+1$ caractérise au contraire les nombres impairs.

Answer

Il peut s’écrire sous la forme $$2\times n$$.

Question 10

10. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible ?

Réduire le numérateur seul afin de rendre son rapport avec le dénominateur plus simple

Vérifier si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, puis les réduire s’ils ont un diviseur commun

Additionner le même nombre au numérateur et au dénominateur jusqu’à obtenir deux nombres premiers

Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre pour supprimer leurs diviseurs communs

Explication

Il faut d’abord rechercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis diviser les deux par ce diviseur lorsqu’il existe. Modifier un seul terme ou multiplier les deux termes ne supprime pas le facteur commun recherché.

Answer

Vérifier si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, puis les réduire s’ils ont un diviseur commun

Question 11

11. Quel est le meilleur critère pour déterminer si $4\,738$ est divisible par $2$ ?

Vérifier que son chiffre des unités est pair

Calculer la somme de tous ses chiffres

Vérifier que son chiffre des dizaines est divisible par deux

Examiner le nombre formé par ses deux derniers chiffres

Explication

Le critère de divisibilité par $2$ dépend du chiffre des unités, qui doit être $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ . La somme des chiffres concerne la divisibilité par $3$ ou $9$ , tandis que les deux derniers chiffres servent notamment pour $4$ .

Answer

Vérifier que son chiffre des unités est pair

Question 12

12. Dans une division euclidienne de $a$ par $b$ , que représente le nombre $k$ dans l’écriture $a=b\times k+r$ ?

Le reste de la division

Le quotient de la division

Le diviseur de la division

Le multiple de la division

Explication

Dans cette écriture, $k$ indique combien de fois le diviseur $b$ est contenu dans $a$ : c’est donc le quotient. Le reste est représenté par $r$ , et non par $k$ .

Answer

Le quotient de la division

QCM : Arithmétique des entiers — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Lequel décrit correctement un nombre premier ?

2. Quand une fraction $\frac{a}{b}$ est-elle irréductible ?

3. Laquelle des situations suivantes illustre correctement la différence entre un multiple et un diviseur ?

4. Que peut-on conclure si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à zéro ?

5. Quelle affirmation caractérise deux nombres entiers premiers entre eux ?

6. Quel énoncé définit un diviseur commun de deux entiers $a$ et $b$ ?

7. Comment vérifier que $7\,452$ est divisible par $3$ et par $9$ ?

8. Pour décomposer un entier en facteurs premiers, quelle méthode faut-il appliquer ?

9. Quelle expression caractérise un nombre entier pair ?

10. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible ?

11. Quel est le meilleur critère pour déterminer si $4\,738$ est divisible par $2$ ?

12. Dans une division euclidienne de $a$ par $b$ , que représente le nombre $k$ dans l’écriture $a=b\times k+r$ ?

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Questions et réponses du QCM

1. Lequel décrit correctement un nombre premier ?

2. Quand une fraction ab\frac{a}{b}ba​ est-elle irréductible ?

3. Laquelle des situations suivantes illustre correctement la différence entre un multiple et un diviseur ?

4. Que peut-on conclure si le reste de la division euclidienne de aaa par bbb est égal à zéro ?

5. Quelle affirmation caractérise deux nombres entiers premiers entre eux ?

6. Quel énoncé définit un diviseur commun de deux entiers aaa et bbb ?

7. Comment vérifier que 7 4527\,4527452 est divisible par 333 et par 999 ?

8. Pour décomposer un entier en facteurs premiers, quelle méthode faut-il appliquer ?

9. Quelle expression caractérise un nombre entier pair ?

10. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible ?

11. Quel est le meilleur critère pour déterminer si 4 7384\,7384738 est divisible par 222 ?

12. Dans une division euclidienne de aaa par bbb, que représente le nombre kkk dans l’écriture a=b×k+ra=b\times k+ra=b×k+r ?

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2. Quand une fraction $\frac{a}{b}$ est-elle irréductible ?

4. Que peut-on conclure si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à zéro ?

6. Quel énoncé définit un diviseur commun de deux entiers $a$ et $b$ ?

7. Comment vérifier que $7\,452$ est divisible par $3$ et par $9$ ?

11. Quel est le meilleur critère pour déterminer si $4\,738$ est divisible par $2$ ?

12. Dans une division euclidienne de $a$ par $b$ , que représente le nombre $k$ dans l’écriture $a=b\times k+r$ ?