Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Multiples et division euclidienne
2. Parité et diviseurs communs
3. Critères de divisibilité
4. Nombres premiers et décomposition
5. Fractions irréductibles

📖 1. Multiples et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : d’un entier naturel a par b s’écrit $a=b\times k+r$, où k est le quotient et r le reste.

★ À maîtriser

📌 Si le reste r de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est divisible par b et b est un diviseur de a.

📌 Un nombre entier a est un multiple de b lorsqu’il existe un entier k tel que $a=b\times k$.

Compléments

• Dans $30=12\times2+6$, 30 n’est pas divisible par 12, tandis que $98=14\times7$ montre que 98 est divisible par 14.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité ; reste non nul → non-divisibilité

📖 2. Parité et diviseurs communs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur commun : un entier k qui divise à la fois a et b.
• Nombre entier naturel : un nombre entier positif ou nul.
• Carré : un nombre qui peut s’écrire $n\times n$, ou $n^2$.

★ À maîtriser

📌 Les nombres de la forme $2\times n$ sont pairs, tandis que les nombres de la forme $2\times n+1$ sont impairs.

Compléments

• Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6.

💡 Astuce mémo

2n produit un pair, tandis que 2n + 1 produit un impair

📖 3. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3, et il est divisible par 9 si cette somme est un multiple de 9.

Compléments

📌 Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre présent dans la table de 4.

📖 4. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : lorsque leur seul diviseur commun est 1.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un entier naturel en facteurs premiers, on le divise successivement par les nombres premiers en allant du plus petit au plus grand, puis on arrête lorsque aucun diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée n’est trouvé.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

• La décomposition en facteurs premiers de 4 440 est $4440=2^3\times3\times5\times37$.

💡 Astuce mémo

Tester 2, puis 3, 5, 7, 11… jusqu’à dépasser √n

📖 5. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : lorsque a et b sont premiers entre eux.

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible, il faut: chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, réduire la fraction par ce diviseur commun, vérifier que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité