Fiche de révision : Arithmétique des entiers naturels

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Multiples et diviseurs
3. Nombres premiers
4. Décomposition en facteurs premiers
5. Fractions et PGCD
6. PPCM et roues crantées

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Consiste à trouver un quotient entier q et un reste r tels que a = b × q + r avec r < b.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour obtenir la division euclidienne de 627 par 18, on:
  1. prend le quotient entier 34
  2. calcule le reste par 627 − 18 × 34
  3. obtient le reste 15
  4. écrit 627 = 18 × 34 + 15

Compléments

📌 Si le reste d’une division euclidienne est supérieur ou égal au diviseur, une boîte supplémentaire peut encore être complétée.

• La division euclidienne de 46 par 7 s’écrit 46 = 7 × 6 + 4, avec un quotient de 6 et un reste de 4.

💡 Astuce mémo

Le quotient compte les parts complètes, le reste compte ce qui reste.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Entier b pour lequel la division de a par b donne un reste nul, ce qui s’écrit a = b × q avec q entier.

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou de 9, par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4, et par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

📌 Pour déterminer les diviseurs d’un entier naturel a, il faut tester les diviseurs inférieurs ou égaux à √a, puis associer à chaque diviseur trouvé son quotient complémentaire.

Compléments

• 56 est divisible par 7 car 56 = 7 × 8, et 468 est divisible par 13 car 468 = 13 × 36.

• Les diviseurs de 45 sont 1, 3, 5, 9, 15 et 45, tandis que les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité ; reste non nul → le nombre n’est pas divisible.

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Si aucun entier autre que 1 et inférieur ou égal à √a ne divise a, alors a est un nombre premier.

Compléments

• L’ensemble des nombres premiers est infini et comprend notamment 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

• 175 623 n’est pas premier, car la somme de ses chiffres vaut 24 et le nombre est donc divisible par 3.

💡 Astuce mémo

Tester les diviseurs jusqu’à √a, puis conclure premier ou composé.

📖 4. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Tout nombre entier est soit premier, soit un produit de nombres premiers.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par son plus petit diviseur premier jusqu’à obtenir 1.

Compléments

• La décomposition de 45 en facteurs premiers est 45 = 3 × 3 × 5 = 3² × 5.

• Les décompositions présentées sont:

  • 126 = 2 × 3² × 7
  • 420 = 2² × 3 × 5 × 7
  • 441 = 3² × 7²
  • 1155 = 3 × 5 × 7 × 11

💡 Astuce mémo

Diviser par le plus petit facteur premier, recommencer jusqu’à 1.

📖 5. Fractions et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de deux entiers.

★ À maîtriser

• Pour simplifier une fraction, on utilise les décompositions en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur afin d’annuler les facteurs communs.

• Pour calculer le PGCD de 126 et 420 par décomposition, on conserve les facteurs premiers communs avec leur plus petit exposant, ce qui donne 2 × 3 × 7 = 42.

Compléments

• Le PGCD de 45 et 36 est 9, car leurs diviseurs communs sont 1, 3 et 9.

💡 Astuce mémo

Le PGCD conserve les facteurs communs ; la simplification les annule.

📖 6. PPCM et roues crantées

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit multiple commun de deux entiers.

★ À maîtriser

• Pour calculer le PPCM par décomposition, on prend tous les facteurs premiers présents dans les deux nombres avec leur plus grand exposant.

• Pour déterminer le nombre de tours nécessaires afin que deux roues crantées reviennent à leur position initiale, il faut rechercher une coïncidence du nombre de dents parcourues par les deux roues.

Compléments

• Les multiples de 12 et de 15 ont pour premier multiple commun 60, donc le PPCM de 12 et 15 est 60.

• Dans un mécanisme de transmission du mouvement, la roue de gauche possède 25 dents et la roue de droite possède 15 dents.

💡 Astuce mémo

Les rotations coïncident quand le nombre de dents parcourues atteint un multiple commun.

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM