Fiche de révision : Suites et comportement

📋 Plan du Cours

1. Définitions et génération des suites
2. Suites arithmétiques
3. Suites géométriques
4. Variations des suites
5. Raisonnement par récurrence
6. Limites infinies et seuils
7. Limites finies et suites usuelles
8. Opérations sur les limites

📖 1. Définitions et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une famille de nombres indexés par des entiers, dont le premier terme peut être u₀ ou un terme d’un rang initial n₀.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être générée par une forme explicite, qui donne uₙ directement en fonction de n, ou par une relation de récurrence, qui exprime un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

Compléments

• Pour une suite définie à partir du rang n₀, la notation est (uₙ)ₙ≥n₀ et le premier terme est uₙ₀.

• Les termes d’une suite peuvent être représentés graphiquement dans un repère par les points associés à leurs indices et à leurs valeurs.

💡 Astuce mémo

Forme explicite : on calcule directement ; récurrence : on passe d’un terme au suivant.

📖 2. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite (uₙ) est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout n∈ℕ, $u_{n+1}=u_n+r$, où r est la raison.

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on montre que, pour tout n∈ℕ, la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, le terme général est $u_n=u_0+nr$.

Compléments

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, la somme des n+1 premiers termes vérifie $\sum_{i=0}^{n}u_i=u_0(n+1)+r\frac{n(n+1)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance sur une droite par bonds réguliers de raison r.

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite (uₙ) est géométrique s’il existe un réel non nul q tel que, pour tout n∈ℕ, $u_{n+1}=u_nq$, où q est la raison.

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une suite est géométrique, on montre que uₙ₊₁ s’exprime sous la forme d’une constante multipliée par uₙ.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, le terme général est $u_n=u_0q^n$.

Compléments

📐 Formule — Pour q≠1, la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique vérifie $\sum_{i=0}^{n}u_i=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique grandit par multiplications successives de raison q.

📖 4. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si, pour tout n∈ℕ, $u_{n+1}\geq u_n$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si, pour tout n∈ℕ, $u_{n+1}\leq u_n$.

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations par différence, on calcule uₙ₊₁−uₙ puis on étudie son signe : une différence positive donne la croissance, une différence négative la décroissance et une différence nulle la constance.

Compléments

📌 Une suite est monotone lorsqu’elle est croissante, décroissante ou constante.

💡 Astuce mémo

Différence positive : croissance ; différence négative : décroissance.

📖 5. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence comporte une initialisation, une hérédité puis une conclusion.

📌 Si une propriété est vraie au premier rang et héréditaire à partir de ce rang, alors elle est vraie pour tout entier naturel à partir de ce rang.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n et tout réel a>0, l’inégalité de Bernoulli est $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$.

Compléments

• La récurrence permet de démontrer une expression générale d’une suite ou sa monotonie en vérifiant une propriété portant sur deux termes consécutifs.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 6. Limites infinies et seuils

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite diverge vers +∞ lorsque ses termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang, et vers −∞ lorsqu’ils deviennent aussi petits que l’on veut.

★ À maîtriser

• Pour une suite croissante de limite +∞, un algorithme de seuil répète le calcul des termes tant que u≤A, puis affiche le rang du premier terme strictement supérieur à A.

Compléments

• Pour la suite définie par u₀=2 et uₙ₊₁=4uₙ, l’algorithme de seuil initialise u à 2 et n à 0, puis remplace successivement n par n+1 et u par 4u.

💡 Astuce mémo

Les termes dépassent tout réel fixé → la suite diverge vers +∞.

📖 7. Limites finies et suites usuelles

★ À maîtriser

📌 Si une suite converge, alors sa limite est unique.

• La suite de terme général $(-1)^n$ diverge sans avoir de limite, car ses termes prennent alternativement les valeurs −1 et 1.

• Les suites de terme général n, n², nᵖ avec p entier naturel supérieur à 2, √n et eⁿ ont pour limite +∞ quand n tend vers +∞.

Compléments

📌 Toute suite constante converge vers la valeur de sa constante.

💡 Astuce mémo

n, n² et eⁿ vont vers +∞ ; leurs inverses vont vers 0.

📖 8. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 Les théorèmes généraux permettent de déterminer les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient à partir des limites des suites composantes, lorsque les conditions du quotient sont respectées.

• Pour lever une forme indéterminée, on transforme l’expression, notamment en factorisant par le terme de plus haut degré, afin d’utiliser les théorèmes généraux sur les limites.

Compléments

• La suite définie par $u_n=1+\frac{1}{n^2}$ converge vers 1 quand n tend vers +∞.

• La suite de terme général $n^2+n$ a pour limite +∞ par somme, car n² et n ont chacun pour limite +∞.

• La suite de terme général $(\frac{1}{\sqrt n}+1)(n^2+3)$ a pour limite +∞ par produit.

• La suite de terme général $\frac{2}{-n^2-3}$ a pour limite 0 par quotient, car le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers −∞.

💡 Astuce mémo

Somme, produit et quotient se calculent par théorèmes, sauf forme indéterminée.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques