Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Les trois formes du trinôme
2. Discriminant et résolution
3. Signe et racines du trinôme
4. Relations entre les racines
5. Méthodes et exemples

📖 1. Les trois formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, la forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ et la forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$.

📌 La forme développée permet de calculer le discriminant, la forme factorisée rend les racines et le signe visibles, et la forme canonique permet de repérer un minimum ou un maximum.

💡 Astuce mémo

Développée pour Δ, factorisée pour les racines, canonique pour l’extremum.

📖 2. Discriminant et résolution

★ À maîtriser

• Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on identifie a, b et c, puis on calcule le discriminant et on interprète son signe.

📐 Formule — Le discriminant d’un trinôme est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles distinctes ; si $\Delta=0$, elle possède une solution réelle double ; si $\Delta<0$, elle ne possède aucune solution réelle.

Compléments

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Lorsque $\Delta=0$, l’unique racine double est $x_0=\frac{-b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Identifier a, b, c → calculer Δ → conclure sur les solutions.

📖 3. Signe et racines du trinôme

★ À maîtriser

• Les deux racines d’un trinôme factorisé séparent la droite réelle en trois intervalles : avant la première racine, entre les deux racines et après la seconde.

📌 Si $a>0$, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

📌 Si $a<0$, les signes du trinôme sont inversés par rapport au cas $a>0$.

Compléments

📌 Avec une racine double, le signe du trinôme ne change pas.

💡 Astuce mémo

a positif : positif dehors et négatif dedans ; a négatif : signes inversés.

📖 4. Relations entre les racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque l’équation possède deux racines $x_1$ et $x_2$, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Lorsque l’équation possède deux racines $x_1$ et $x_2$, leur produit vérifie $x_1\times x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📌 Les relations de somme et de produit permettent de contrôler un calcul ou de détecter des racines entières dans des cas simples.

💡 Astuce mémo

Somme S = −b/a, produit P = c/a.

📖 5. Méthodes et exemples

★ À maîtriser

📌 On utilise la forme développée pour calculer le discriminant, la forme factorisée pour résoudre une inéquation ou étudier le signe, et une forme canonique simple pour repérer un extremum ou une valeur minimale.

• Pour résoudre $x^2-5x+6=0$, on obtient $\Delta=1$, puis les racines $x_1=2$ et $x_2=3$.

• Pour mettre $g(x)=x^2-4x+7$ sous forme canonique, on complète le carré : $x^2-4x+7=x^2-4x+4+3=(x-2)^2+3$.

📌 Comme un carré est toujours positif ou nul, $g(x)=(x-2)^2+3$ vérifie $g(x)\ge3$, avec un minimum égal à 3 atteint pour $x=2$.

Compléments

• Le trinôme $x^2-5x+6$ se factorise en $(x-2)(x-3)$ et il est négatif entre 2 et 3.

• La fonction $g(x)=x^2-4x+7$ n’a pas de racine réelle.

💡 Astuce mémo

Calculer, vérifier, factoriser ; compléter le carré, puis lire le minimum.

📊 Tableaux de synthèse

Choisir la forme du trinôme