Fiche de révision : Limites continuité et dérivabilité

📋 Plan du Cours

1. Notion de limite en un point
2. Limites infinies et à l’infini
3. Opérations et formes indéterminées
4. Comparaison et asymptotes
5. Continuité et opérations
6. Valeurs intermédiaires et réciproque
7. Nombre dérivé et tangente
8. Dérivées usuelles et opérations
9. Variations et position relative

📖 1. Notion de limite en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en un point : lorsque f(x) devient aussi proche que l’on veut de ℓ dès que x est suffisamment proche de a.

★ À maîtriser

📌 Une limite en a existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

Compléments

• Pour f(x)=|x|/x définie pour x≠0, la limite à droite en 0 vaut 1 et la limite à gauche vaut −1, donc f n’a pas de limite en 0.

💡 Astuce mémo

Limite commune à gauche et à droite, sinon pas de limite

📖 2. Limites infinies et à l’infini

★ À maîtriser

• À l’infini, $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ pour tout entier n≥1.

Compléments

• Les limites de référence sont $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$, $\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$, $\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\frac1{\sqrt{x}}=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Fonction non bornée près de a → asymptote verticale

📖 3. Opérations et formes indéterminées

📝 Points essentiels

• Les quatre formes indéterminées sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$ et $\frac00$.

• Pour lever une forme indéterminée, il faut transformer l’expression par factorisation, quantité conjuguée ou mise en facteur du terme dominant avant de conclure.

📌 À l’infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré et une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

💡 Astuce mémo

Les quatre formes : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0

📖 4. Comparaison et asymptotes

★ À maîtriser

📌 Si g(x)≤f(x)≤h(x) au voisinage de a et si g et h ont la même limite ℓ, alors f a aussi pour limite ℓ en a.

📌 La droite x=a est une asymptote verticale si f tend vers ±∞ en a, la droite y=ℓ est une asymptote horizontale si f tend vers ℓ à l’infini, et y=ax+b est une asymptote oblique si f(x)−(ax+b) tend vers 0.

Compléments

📌 Si f(x)≥g(x) au voisinage de a et si g tend vers +∞, alors f tend vers +∞ ; de même, si f(x)≤g(x) et si g tend vers −∞, alors f tend vers −∞.

💡 Astuce mémo

La fonction est prise entre deux courbes qui convergent vers la même valeur

📖 5. Continuité et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont continues, alors f+g, λf et fg sont continues, ainsi que f/g là où g ne s’annule pas et la composée de deux fonctions continues.

Compléments

• Toute fonction polynôme est continue sur ℝ, toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition, et les fonctions √x, sin x et cos x sont continues sur leur domaine.

💡 Astuce mémo

Continuité : la limite rejoint la valeur f(a)

📖 6. Valeurs intermédiaires et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur f(I) et possède une fonction réciproque continue, de même sens de variation que f.

📝 Points essentiels

📌 Si f est continue sur [a,b], alors tout réel k compris entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent c∈[a,b] tel que f(c)=k.

📌 Si f est continue et strictement monotone sur [a,b], toute équation f(x)=k avec k entre f(a) et f(b) possède une unique solution dans [a,b].

💡 Astuce mémo

Continuité → existence ; monotonie stricte → unicité

📖 7. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite finie du taux d’accroissement, $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$.

📝 Points essentiels

📌 Si f est dérivable en a, la tangente à la courbe au point (a,f(a)) a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Une fonction est dérivable en a si ses dérivées à gauche et à droite existent, sont finies et égales ; si elles sont différentes, la courbe présente un point anguleux.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → limite → pente de la tangente

📖 8. Dérivées usuelles et opérations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$, $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac1{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📐 Formule — Les règles de dérivation sont $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v≠0.

📐 Formule — Pour une composée, $(v\circ u)'(x)=u'(x)v'(u(x))$ ; en particulier, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ et $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

📖 9. Variations et position relative

★ À maîtriser

📌 Si f′>0 sur un intervalle, f est strictement croissante ; si f′<0, f est strictement décroissante ; si f′=0, f est constante.

📌 Si f′ s’annule en a en changeant de signe, f possède un maximum local si f′ passe de + à − et un minimum local si f′ passe de − à +.

Compléments

• Pour f(x)=x^3−3x+2, f′(x)=3(x−1)(x+1), f est croissante sur ]−∞,−1] et [1,+∞[, décroissante sur [−1,1], avec un maximum local égal à 4 en −1 et un minimum local égal à 0 en 1.

• Pour étudier la position d’une courbe par rapport à une tangente, on étudie le signe de la différence entre f(x) et l’équation de la tangente.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → variations → extrema et position de la courbe

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes