QCM : Limites continuité et dérivabilité — 21 questions

Question 1

1. Que signifie l’énoncé « $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ » ?

Les valeurs de

x

se rapprochent de

\ell

lorsque

f(x)

se rapproche de

a

.

Les valeurs de

f(x)

se rapprochent de

\ell

lorsque

x

se rapproche suffisamment de

a

.

La fonction prend la valeur

\ell

pour tout

x

suffisamment proche de

a

.

La valeur de

f(a)

se rapproche de

\ell

lorsque

x

devient très grand.

Explication

La limite en $a$ décrit le rapprochement des valeurs de $f(x)$ vers $\ell$ lorsque $x$ approche suffisamment $a$ . La valeur exacte de $f(a)$ n’est pas nécessairement déterminante, et la fonction n’est pas tenue de rester constante près de $a$ .

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ se rapprochent de $$\ell$$ lorsque $$x$$ se rapproche suffisamment de $$a$$.

Question 2

2. Dans quelle situation la limite de $f$ en $a$ existe-t-elle ?

Lorsque les valeurs de la fonction sont bornées au voisinage de

a

.

Lorsque la limite à gauche existe, même si la limite à droite est différente.

Lorsque les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

Lorsque la fonction est définie en

a

et possède une limite à droite.

Explication

Une limite en $a$ existe lorsque les deux limites latérales existent et coïncident. Des limites latérales différentes, même pour une fonction définie en $a$ , empêchent l’existence d’une limite commune.

Answer

Lorsque les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

Question 3

3. Laquelle de ces limites est correcte pour un entier $n\geq 1$ ?

\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=0

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=+\infty

\lim_{x\to+\infty}x^n=0

Explication

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , la puissance $x^n$ et la racine $\sqrt{x}$ tendent vers $+\infty$ , tandis que leur inverse tend vers $0$ . La croissance de $x^n$ entraîne donc la décroissance de $1/x^n$ vers zéro.

Answer

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0$$

Question 4

4. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}$ ?

+\infty

-\infty

Cette limite n’existe pas.

0

Explication

Lorsque $x$ approche zéro par valeurs négatives, son inverse devient négatif et sa valeur absolue augmente sans borne, d’où la limite $-\infty$ . L’approche par valeurs positives conduirait à $+\infty$ , mais elle ne correspond pas ici.

Answer

$$-\infty$$

Question 5

5. Laquelle de ces expressions constitue une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

2+3

\frac{6}{2}

\infty-\infty

0+4

Explication

Les formes $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ sont indéterminées et ne permettent pas de conclure directement. Les autres expressions proposées sont des opérations numériques déterminées.

Answer

$$\infty-\infty$$

Question 6

6. Quelle démarche permet de lever une forme indéterminée avant de déterminer une limite ?

Remplacer systématiquement chaque terme infini par un nombre réel très grand.

Transformer l’expression par factorisation, quantité conjuguée ou extraction du terme dominant.

Déterminer la valeur de la fonction au point sans modifier l’expression.

Conclure directement à partir de la forme obtenue après substitution.

Explication

La levée d’une forme indéterminée exige une transformation algébrique adaptée, comme une factorisation, l’utilisation d’une quantité conjuguée ou l’extraction du terme dominant. Une substitution directe dans une forme indéterminée ne fournit pas la valeur de la limite.

Answer

Transformer l’expression par factorisation, quantité conjuguée ou extraction du terme dominant.

Question 7

7. Comment étudier la limite à l’infini d’un polynôme ou d’une fonction rationnelle ?

Pour un polynôme, on retient le quotient des termes dominants ; pour une fonction rationnelle, on retient le terme constant.

Pour les deux expressions, on retient le terme constant afin d’éviter les termes qui divergent.

Pour un polynôme, on retient le terme de plus haut degré ; pour une fonction rationnelle, on retient le quotient des termes dominants.

Pour un polynôme, on additionne les degrés ; pour une fonction rationnelle, on soustrait les coefficients dominants.

Explication

À l’infini, le terme de plus haut degré gouverne le comportement d’un polynôme, tandis qu’une fonction rationnelle se compare au quotient de ses termes dominants. Le terme constant ne contrôle donc pas en général la limite à l’infini.

Answer

Pour un polynôme, on retient le terme de plus haut degré ; pour une fonction rationnelle, on retient le quotient des termes dominants.

Question 8

8. Si, au voisinage de $a$ , on a $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et si $g$ et $h$ tendent toutes deux vers $\ell$ en $a$ , que peut-on conclure pour $f$ ?

La fonction

f

possède une limite différente de

\ell

La fonction

f

tend vers

\ell

en

a

La fonction

f

est nécessairement constante près de

a

La fonction

f

tend vers

+\infty

en

a

Explication

Le théorème des gendarmes impose à $f$ la même limite que ses deux fonctions bornes, soit $\ell$ . Une simple comparaison avec une seule fonction ne suffit pas à établir cette conclusion.

Answer

La fonction $$f$$ tend vers $$\ell$$ en $$a$$

Question 9

9. Quelle condition caractérise une asymptote oblique d’équation $y=ax+b$ pour une fonction $f$ ?

La fonction

f(x)

tend vers

+\infty

quand

x

tend vers

a

La fonction

f(x)-(ax+b)

tend vers

b

à l’infini

La différence

f(x)-(ax+b)

tend vers

0

La fonction

f(x)

tend vers

a

quand

x

tend vers

0

Explication

La droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique lorsque l’écart entre $f(x)$ et $ax+b$ tend vers $0$ à l’infini. Une limite infinie en une valeur finie décrit plutôt une asymptote verticale.

Answer

La différence $$f(x)-(ax+b)$$ tend vers $$0$$

Question 10

10. Quelle égalité exprime la continuité de $f$ en $a$ ?

\lim_{x\to a}f(x)=0

f(a)=a

\lim_{x\to +\infty}f(x)=f(a)

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Explication

Une fonction est continue en $a$ lorsque sa limite en $a$ existe et coïncide avec sa valeur en $a$ . La limite n’a pas besoin d’être nulle, et une limite à l’infini ne définit pas la continuité en $a$ .

Answer

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Question 11

11. Dans quelle situation le quotient $\frac{f}{g}$ de deux fonctions continues est-il continu ?

Sur les points où

f

ne s’annule pas

Sur les points où la somme

f+g

s’annule

Sur les points où

g

ne s’annule pas

Sur les points où

f

et

g

ont la même valeur

Explication

Le quotient de deux fonctions continues reste continu aux points où son dénominateur $g$ est non nul. L’annulation de $f$ ou celle de la somme ne règle pas le problème d’une division par zéro.

Answer

Sur les points où $$g$$ ne s’annule pas

Question 12

12. Si une fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Il existe exactement un

c\in[a,b]

tel que

f(c)=k

La fonction

f

est strictement monotone sur

[a,b]

Il existe au moins un

c\in[a,b]

tel que

f(c)=k

La fonction

f

prend chaque valeur réelle sur

[a,b]

Explication

La continuité garantit l’existence d’au moins un antécédent $c$ pour toute valeur intermédiaire $k$ . L’unicité demanderait une hypothèse supplémentaire, comme la stricte monotonie.

Answer

Il existe au moins un $$c\in[a,b]$$ tel que $$f(c)=k$$

Question 13

13. Pourquoi une équation $f(x)=k$ possède-t-elle une solution unique dans $[a,b]$ lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur cet intervalle et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

La stricte monotonie assure l’existence et la continuité impose la valeur de la solution

La continuité rend

f

constante et la monotonie supprime les autres valeurs

La continuité assure l’existence et la stricte monotonie assure l’unicité

La stricte monotonie permet de conclure sans utiliser les valeurs de

f(a)

et

f(b)

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires fournit une solution grâce à la continuité, tandis que la stricte monotonie empêche deux antécédents distincts d’avoir la même image. La continuité seule ne suffirait donc pas pour obtenir l’unicité.

Answer

La continuité assure l’existence et la stricte monotonie assure l’unicité

Question 14

14. Comment définit-on le nombre dérivé de f en a ?

Comme la valeur de f(a) lorsque l’abscisse tend vers zéro

Comme la limite de f(x) lorsque x tend vers l’infini

Comme la limite finie du taux d’accroissement lorsque x tend vers a

Comme le taux d’accroissement calculé entre deux points distincts

Explication

Le nombre dérivé est la limite finie du taux d’accroissement lorsque les deux points se rapprochent, ce qui donne la pente instantanée en a. Le taux d’accroissement entre deux points distincts reste une pente moyenne et ne constitue pas encore un nombre dérivé.

Answer

Comme la limite finie du taux d’accroissement lorsque x tend vers a

Question 15

15. Quelle équation représente la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a lorsque f est dérivable en a ?

y=f'(x)(a-x)+f(a)

y=f(a)x+f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

Explication

La tangente passe par le point $(a,f(a))$ et son coefficient directeur est $f'(a)$ , d’où l’équation donnée. Intervertir $f(a)$ et $f'(a)$ confond l’ordonnée du point de contact avec la pente de la tangente.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 16

16. Dans quelle situation une fonction est-elle dérivable en a ?

Lorsque les dérivées à gauche et à droite existent, sont finies et égales

Lorsque la fonction est continue en a sans condition sur ses dérivées

Lorsque les dérivées à gauche et à droite existent avec des valeurs différentes

Lorsque la fonction possède une tangente horizontale en a

Explication

La dérivabilité en a exige l’existence de dérivées latérales finies et leur égalité. Des dérivées latérales différentes indiquent au contraire un point anguleux, tandis que la continuité seule ne suffit pas.

Answer

Lorsque les dérivées à gauche et à droite existent, sont finies et égales

Question 17

17. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\cos x$ ?

f'(x)=\cos x

f'(x)=-\cos x

f'(x)=-\sin x

f'(x)=\sin x

Explication

La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$ . La formule $\left(\sin x\right)'=\cos x$ concerne la fonction sinus et ne doit pas être inversée.

Answer

$$f'(x)=-\sin x$$

Question 18

18. Quelle expression donne la dérivée du produit de deux fonctions u et v ?

(uv)'=u'v-uv'

(uv)'=u+v+u'+v'

(uv)'=u'v+uv'

(uv)'=u'v'

Explication

La règle du produit additionne les deux contributions : la dérivée de u multipliée par v, puis u multipliée par la dérivée de v. La différence au numérateur intervient dans la règle du quotient, pas dans celle du produit.

Answer

$$(uv)'=u'v+uv'$$

Question 19

19. Si $f(x)=\sqrt{u(x)}$ , quelle formule permet de calculer sa dérivée lorsque la composée est définie ?

f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

f'(x)=\frac{\sqrt{u'(x)}}{2u(x)}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u'(x)}}

f'(x)=2u'(x)\sqrt{u(x)}

Explication

La règle de la chaîne multiplie la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure, ce qui donne $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ . La dérivée de la racine ne remplace donc pas la dérivée de u par une simple constante.

Answer

$$f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

Question 20

20. Que peut-on conclure si $f'(x)<0$ sur un intervalle ?

La fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle

La fonction f est strictement croissante sur cet intervalle

La fonction f est constante sur cet intervalle

La fonction f possède un maximum local à chaque point

Explication

Une dérivée négative sur un intervalle signifie que la fonction y décroît strictement. Une dérivée positive correspond à une croissance stricte, tandis qu’une dérivée nulle correspond à une fonction constante.

Answer

La fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle

Question 21

21. Que caractérise un changement de signe de la dérivée de positif à négatif en a ?

Un point anguleux en a

Un minimum local en a

Une fonction constante au voisinage de a

Un maximum local en a

Explication

Lorsque la dérivée passe de positive à négative, la fonction cesse de croître puis commence à décroître : elle possède donc un maximum local en a. Le passage de négatif à positif caractérise au contraire un minimum local.

Answer

Un maximum local en a

QCM : Limites continuité et dérivabilité — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’énoncé « $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ » ?

2. Dans quelle situation la limite de $f$ en $a$ existe-t-elle ?

3. Laquelle de ces limites est correcte pour un entier $n\geq 1$ ?

4. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}$ ?

5. Laquelle de ces expressions constitue une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

6. Quelle démarche permet de lever une forme indéterminée avant de déterminer une limite ?

7. Comment étudier la limite à l’infini d’un polynôme ou d’une fonction rationnelle ?

8. Si, au voisinage de $a$ , on a $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et si $g$ et $h$ tendent toutes deux vers $\ell$ en $a$ , que peut-on conclure pour $f$ ?

9. Quelle condition caractérise une asymptote oblique d’équation $y=ax+b$ pour une fonction $f$ ?

10. Quelle égalité exprime la continuité de $f$ en $a$ ?

11. Dans quelle situation le quotient $\frac{f}{g}$ de deux fonctions continues est-il continu ?

12. Si une fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

13. Pourquoi une équation $f(x)=k$ possède-t-elle une solution unique dans $[a,b]$ lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur cet intervalle et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

14. Comment définit-on le nombre dérivé de f en a ?

15. Quelle équation représente la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a lorsque f est dérivable en a ?

16. Dans quelle situation une fonction est-elle dérivable en a ?

17. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\cos x$ ?

18. Quelle expression donne la dérivée du produit de deux fonctions u et v ?

19. Si $f(x)=\sqrt{u(x)}$ , quelle formule permet de calculer sa dérivée lorsque la composée est définie ?

20. Que peut-on conclure si $f'(x)<0$ sur un intervalle ?

21. Que caractérise un changement de signe de la dérivée de positif à négatif en a ?

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QCM : Limites continuité et dérivabilité — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’énoncé « lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x\to a} f(x)=\elllimx→a​f(x)=ℓ » ?

2. Dans quelle situation la limite de fff en aaa existe-t-elle ?

3. Laquelle de ces limites est correcte pour un entier n≥1n\geq 1n≥1 ?

4. Quelle est la valeur de lim⁡x→0−1x\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}limx→0−​x1​ ?

5. Laquelle de ces expressions constitue une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

6. Quelle démarche permet de lever une forme indéterminée avant de déterminer une limite ?

7. Comment étudier la limite à l’infini d’un polynôme ou d’une fonction rationnelle ?

8. Si, au voisinage de aaa, on a g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) et si ggg et hhh tendent toutes deux vers ℓ\ellℓ en aaa, que peut-on conclure pour fff ?

9. Quelle condition caractérise une asymptote oblique d’équation y=ax+by=ax+by=ax+b pour une fonction fff ?

10. Quelle égalité exprime la continuité de fff en aaa ?

11. Dans quelle situation le quotient fg\frac{f}{g}gf​ de deux fonctions continues est-il continu ?

12. Si une fonction fff est continue sur [a,b][a,b][a,b] et si kkk est compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b), que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

13. Pourquoi une équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k possède-t-elle une solution unique dans [a,b][a,b][a,b] lorsque fff est continue et strictement monotone sur cet intervalle et que kkk est compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b) ?

14. Comment définit-on le nombre dérivé de f en a ?

15. Quelle équation représente la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a lorsque f est dérivable en a ?

16. Dans quelle situation une fonction est-elle dérivable en a ?

17. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx ?

18. Quelle expression donne la dérivée du produit de deux fonctions u et v ?

19. Si f(x)=u(x)f(x)=\sqrt{u(x)}f(x)=u(x)​, quelle formule permet de calculer sa dérivée lorsque la composée est définie ?

20. Que peut-on conclure si f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 sur un intervalle ?

21. Que caractérise un changement de signe de la dérivée de positif à négatif en a ?

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1. Que signifie l’énoncé « $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ » ?

2. Dans quelle situation la limite de $f$ en $a$ existe-t-elle ?

3. Laquelle de ces limites est correcte pour un entier $n\geq 1$ ?

4. Quelle est la valeur de $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}$ ?

8. Si, au voisinage de $a$ , on a $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et si $g$ et $h$ tendent toutes deux vers $\ell$ en $a$ , que peut-on conclure pour $f$ ?

9. Quelle condition caractérise une asymptote oblique d’équation $y=ax+b$ pour une fonction $f$ ?

10. Quelle égalité exprime la continuité de $f$ en $a$ ?

11. Dans quelle situation le quotient $\frac{f}{g}$ de deux fonctions continues est-il continu ?

12. Si une fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

13. Pourquoi une équation $f(x)=k$ possède-t-elle une solution unique dans $[a,b]$ lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur cet intervalle et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

17. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\cos x$ ?

19. Si $f(x)=\sqrt{u(x)}$ , quelle formule permet de calculer sa dérivée lorsque la composée est définie ?

20. Que peut-on conclure si $f'(x)<0$ sur un intervalle ?