QCM : Suites et comportement — 21 questions

Question 1

1. Quelle description caractérise une suite numérique ?

Une famille de nombres indexés par des entiers

Un ensemble de nombres classés selon leur valeur

Une fonction définie uniquement sur les nombres réels

Une liste de nombres sans indices associés

Explication

Une suite numérique associe des nombres à des indices entiers, avec un rang initial possible. Le terme u₀ désigne le premier terme dans certains cas et ne doit pas être confondu avec uₙ₋₁, qui précède uₙ.

Answer

Une famille de nombres indexés par des entiers

Question 2

2. Quelle différence distingue une forme explicite d’une relation de récurrence pour définir une suite ?

La forme explicite concerne les suites arithmétiques, tandis que la récurrence concerne les suites géométriques

La forme explicite décrit des points, tandis que la récurrence calcule une raison constante

La forme explicite utilise un terme précédent, tandis que la récurrence donne uₙ selon n

La forme explicite donne uₙ selon n, tandis que la récurrence utilise des termes précédents

Explication

Une forme explicite permet de calculer directement uₙ à partir de n, alors qu’une relation de récurrence exprime un terme à partir d’un ou plusieurs termes antérieurs. Les deux méthodes peuvent définir différents types de suites.

Answer

La forme explicite donne uₙ selon n, tandis que la récurrence utilise des termes précédents

Question 3

3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n-3$ pour tout n. Quelle est sa nature et quelle est sa raison ?

Elle est arithmétique, de raison

-3

Elle est géométrique, de raison

\frac{1}{3}

Elle est géométrique, de raison

-3

Elle est arithmétique, de raison

3

Explication

La relation ajoute une constante à chaque terme, ce qui caractérise une suite arithmétique de raison $r=-3$ . Une suite géométrique se définit par une multiplication par une constante.

Answer

Elle est arithmétique, de raison $$-3$$

Question 4

4. Pour vérifier qu’une suite donnée est arithmétique, quelle propriété faut-il établir ?

Le produit

u_{n+1}u_n

est constant

La différence

u_{n+1}-u_n

est constante

La puissance

u_n^n

est constante

Le quotient

\frac{u_{n+1}}{u_n}

est constant

Explication

Une suite est arithmétique lorsque l’écart entre deux termes consécutifs reste le même, donc lorsque $u_{n+1}-u_n$ est constant. La constance d’un quotient caractérise plutôt une suite géométrique lorsque les quotients sont définis.

Answer

La différence $$u_{n+1}-u_n$$ est constante

Question 5

5. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=4$ . Quelle est la valeur de $u_5$ ?

27

7\times4^5

11

35

Explication

La formule d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$ $, donc $u_5=7+5\times4=27$ . L’expression $7\times4^5$ utilise une puissance et correspond à une structure géométrique, pas arithmétique.

Answer

Il existe un réel non nul q tel que $$u_{n+1}=qu_n$$

Answer

Écrire $$u_{n+1}$$ sous la forme $$qu_n$$ avec q constant

Answer

Pour tout entier naturel n, $$u_{n+1}\geq u_n$$.

Answer

Le signe de $$u_{n+1}-u_n$$.

Answer

Elle est croissante, décroissante ou constante.

Answer

Initialisation, hérédité, conclusion.

Answer

Elle est vraie pour tout entier naturel à partir de ce rang.

Answer

$$\left(1+a\right)^n\geq 1+na$$

Answer

Ses termes dépassent tout seuil fixé à partir d’un certain rang.

Answer

Il calcule les termes tant que $$u\leq A$$, puis affiche le premier rang où $$u>A$$.

Answer

Elle est unique

Answer

Elle oscille entre $$-1$$ et $$1$$ sans limite

Answer

La suite de terme général $$\sqrt{n}$$

Answer

Lorsque les limites des suites composantes sont connues et que les conditions du quotient sont respectées

Answer

Factoriser par le terme de plus haut degré

Question 6

6. Quelle condition définit une suite géométrique de raison q ?

Il existe un réel q tel que

u_{n+1}=u_n+q

La différence

u_{n+1}-u_n

est constante

Le terme

u_n

est égal à une constante multipliée par n

Il existe un réel non nul q tel que

u_{n+1}=qu_n

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une raison non nulle q. L’addition d’une constante et la constance des différences caractérisent une suite arithmétique.

Question 7

7. Quelle démarche permet de démontrer qu’une suite est géométrique ?

Écrire

u_{n+1}

sous la forme

qu_n

avec q constant

Calculer la somme des termes jusqu’au rang n

Montrer que

u_{n+1}-u_n

est égal à une constante

Établir que

u_n=u_0+nr

$ pour tout n

Explication

Pour établir qu’une suite est géométrique, il faut exprimer chaque terme suivant comme le produit du terme précédent par une même constante q. La constance de la différence concerne les suites arithmétiques.

Question 8

8. Une suite géométrique vérifie $u_0=3$ et $q=2$ . Quelle est la valeur de $u_4$ ?

24

3+4\times2

11

48

Explication

Le terme général est $u_n=u_0q^n$ , donc $u_4=3\times2^4=48$ . L’expression $u_0+nr$ appartient à la formule des suites arithmétiques et ne convient pas ici.

Question 9

9. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

Pour tout entier naturel n,

u_n\geq 0

.

Pour tout entier naturel n,

u_{n+1}\geq u_n

.

Pour tout entier naturel n,

u_{n+1}=u_n

.

Pour tout entier naturel n,

u_{n+1}\leq u_n

.

Explication

Une suite croissante vérifie que chaque terme est supérieur ou égal au précédent, soit $u_{n+1}\geq u_n$ . La condition $u_{n+1}\leq u_n$ caractérise une suite décroissante, tandis que le signe de $u_n$ ne suffit pas à déterminer les variations.

Question 10

10. Pour étudier les variations d’une suite par différence, quelle expression faut-il analyser ?

La valeur de

u_{n+1}+u_n

.

Le signe de

u_n

.

Le produit

u_{n+1}\times u_n

.

Le signe de

u_{n+1}-u_n

.

Explication

L’étude du signe de $u_{n+1}-u_n$ permet de déterminer la variation : une différence positive indique une croissance et une différence négative une décroissance. Le signe de $u_n$ renseigne sur les termes, mais ne suffit pas à conclure sur leur évolution.

Question 11

11. Une suite est dite monotone lorsqu’elle possède quelle propriété ?

Elle converge nécessairement vers une valeur finie.

Elle alterne entre des valeurs positives et négatives.

Elle est croissante, décroissante ou constante.

Elle est strictement positive à chaque rang.

Explication

Une suite monotone est une suite dont les termes évoluent dans un seul sens au sens large : elle peut être croissante, décroissante ou constante. La positivité et la convergence finie sont des propriétés distinctes qui ne définissent pas la monotonie.

Question 12

12. Dans quel ordre les trois étapes d’une démonstration par récurrence sont-elles généralement présentées ?

Hérédité, conclusion, initialisation.

Conclusion, initialisation, hérédité.

Initialisation, conclusion, hérédité.

Initialisation, hérédité, conclusion.

Explication

Une récurrence commence par vérifier la propriété au premier rang, puis établit sa transmission d’un rang au suivant, avant de conclure. L’hérédité ne remplace donc pas la vérification du premier rang.

Question 13

13. Une propriété est vraie au premier rang et l’on montre que sa validité à un rang entraîne sa validité au rang suivant. Que peut-on conclure ?

Elle est vraie pour le premier rang mais pas pour les suivants.

Elle est vraie pour tout entier naturel à partir de ce rang.

Elle est fausse dès qu’un rang supérieur est considéré.

Elle est vraie pour quelques rangs, sans conclusion générale.

Explication

L’initialisation et l’hérédité permettent de conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel à partir du rang initial. Vérifier plusieurs rangs sans établir l’hérédité ne fournirait pas cette conclusion générale.

Question 14

14. Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$ , quelle inégalité de Bernoulli est correcte ?

\left(1+a\right)^n\geq 1+n+a

\left(1+a\right)^n\leq 1+na

\left(1+a\right)^n\geq 1+na

\left(1+a\right)^n=1+a^n

Explication

L’inégalité de Bernoulli affirme que $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$ lorsque $a>0$ et $n$ est un entier naturel. Les autres expressions modifient le sens de l’inégalité ou ne correspondent pas à cette formule.

Question 15

15. Que signifie une divergence d’une suite vers $+\infty$ ?

Ses termes restent inférieurs à un seuil donné.

Ses termes deviennent négatifs à partir d’un certain rang.

Ses termes s’approchent d’une valeur réelle finie.

Ses termes dépassent tout seuil fixé à partir d’un certain rang.

Explication

Diverger vers $+\infty$ signifie que les termes deviennent aussi grands que l’on veut : pour tout seuil fixé, ils le dépassent à partir d’un certain rang. S’approcher d’une valeur finie décrit une convergence, et non une divergence vers $+\infty$ .

Question 16

16. Pour une suite croissante de limite $+\infty$ , que fait un algorithme de seuil avec un seuil $A$ ?

Il s’arrête dès que

u=A

, puis affiche le rang du terme égal à

A

.

Il calcule les termes tant que

u>A

, puis affiche le dernier rang où

u\leq A

.

Il calcule les termes tant que

u\leq A

, puis affiche le premier rang où

u>A

.

Il compare chaque terme à zéro, puis affiche le rang du premier terme négatif.

Explication

L’algorithme poursuit les calculs tant que le terme courant vérifie $u\leq A$ , puis retourne le rang du premier terme strictement supérieur à $A$ . La condition d’arrêt porte donc sur le franchissement du seuil, et non sur l’égalité ou sur le signe du terme.

Question 17

17. Quelle propriété s’applique à la limite d’une suite convergente ?

Elle dépend du rang choisi

Elle peut prendre deux valeurs

Elle est nécessairement infinie

Elle est unique

Explication

Une suite convergente possède une limite unique, ce qui exclut qu’elle converge simultanément vers deux valeurs distinctes. Une limite infinie ne correspond pas à une convergence vers une valeur finie.

Question 18

18. Quel comportement décrit la suite de terme général $(-1)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Elle converge vers

0

par alternance

Elle tend vers

-\infty

lorsque

n

devient grand

Elle oscille entre

-1

et

1

sans limite

Elle tend vers

+\infty

en valeur absolue

Explication

Les termes de cette suite prennent alternativement les valeurs $-1$ et $1$ , donc ils ne se rapprochent pas d’une valeur unique. Elle ne tend pas non plus vers $+\infty$ ou $-\infty$ , car ses termes restent bornés.

Question 19

19. Quelle suite a pour limite $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

La suite de terme général

\sqrt{n}

La suite de terme général

\frac{1}{n}

La suite de terme général

(-1)^n

La suite constante de terme général

3

Explication

La suite $\sqrt{n}$ devient arbitrairement grande lorsque $n$ augmente, et sa limite est donc $+\infty$ . La suite $(-1)^n$ oscille, tandis qu’une suite constante ou la suite $1/n$ possède une limite finie.

Question 20

20. Dans quelles conditions les théorèmes généraux permettent-ils de déterminer la limite d’un quotient de suites ?

Lorsque les limites des suites composantes sont connues et que les conditions du quotient sont respectées

Lorsque les deux suites composantes divergent vers des valeurs opposées

Lorsque le dénominateur oscille entre deux valeurs sans limite

Lorsque le quotient contient une forme indéterminée qui n’a pas été transformée

Explication

Les théorèmes sur les limites s’appliquent à un quotient lorsque les limites nécessaires sont connues et que le dénominateur satisfait les conditions requises. Un dénominateur sans limite ou une forme indéterminée non traitée ne permet pas une application directe.

Question 21

21. Quelle méthode permet généralement de lever une forme indéterminée dans une expression de suites ?

Conserver l’expression sans la modifier

Factoriser par le terme de plus haut degré

Comparer uniquement les signes des termes

Remplacer chaque terme par son indice dès le départ

Explication

La factorisation par le terme de plus haut degré transforme l’expression et permet ensuite d’appliquer les théorèmes généraux sur les limites. Se limiter aux indices ou aux signes ne résout pas une forme indéterminée.

QCM : Suites et comportement — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description caractérise une suite numérique ?

2. Quelle différence distingue une forme explicite d’une relation de récurrence pour définir une suite ?

3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n-3$ pour tout n. Quelle est sa nature et quelle est sa raison ?

4. Pour vérifier qu’une suite donnée est arithmétique, quelle propriété faut-il établir ?

5. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=4$ . Quelle est la valeur de $u_5$ ?

6. Quelle condition définit une suite géométrique de raison q ?

7. Quelle démarche permet de démontrer qu’une suite est géométrique ?

8. Une suite géométrique vérifie $u_0=3$ et $q=2$ . Quelle est la valeur de $u_4$ ?

9. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

10. Pour étudier les variations d’une suite par différence, quelle expression faut-il analyser ?

11. Une suite est dite monotone lorsqu’elle possède quelle propriété ?

12. Dans quel ordre les trois étapes d’une démonstration par récurrence sont-elles généralement présentées ?

13. Une propriété est vraie au premier rang et l’on montre que sa validité à un rang entraîne sa validité au rang suivant. Que peut-on conclure ?

14. Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$ , quelle inégalité de Bernoulli est correcte ?

15. Que signifie une divergence d’une suite vers $+\infty$ ?

16. Pour une suite croissante de limite $+\infty$ , que fait un algorithme de seuil avec un seuil $A$ ?

17. Quelle propriété s’applique à la limite d’une suite convergente ?

18. Quel comportement décrit la suite de terme général $(-1)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

19. Quelle suite a pour limite $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

20. Dans quelles conditions les théorèmes généraux permettent-ils de déterminer la limite d’un quotient de suites ?

21. Quelle méthode permet généralement de lever une forme indéterminée dans une expression de suites ?

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QCM : Suites et comportement — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description caractérise une suite numérique ?

2. Quelle différence distingue une forme explicite d’une relation de récurrence pour définir une suite ?

3. Une suite vérifie un+1=un−3u_{n+1}=u_n-3un+1​=un​−3 pour tout n. Quelle est sa nature et quelle est sa raison ?

4. Pour vérifier qu’une suite donnée est arithmétique, quelle propriété faut-il établir ?

5. Une suite arithmétique vérifie u0=7u_0=7u0​=7 et r=4r=4r=4. Quelle est la valeur de u5u_5u5​ ?

6. Quelle condition définit une suite géométrique de raison q ?

7. Quelle démarche permet de démontrer qu’une suite est géométrique ?

8. Une suite géométrique vérifie u0=3u_0=3u0​=3 et q=2q=2q=2. Quelle est la valeur de u4u_4u4​ ?

9. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

10. Pour étudier les variations d’une suite par différence, quelle expression faut-il analyser ?

11. Une suite est dite monotone lorsqu’elle possède quelle propriété ?

12. Dans quel ordre les trois étapes d’une démonstration par récurrence sont-elles généralement présentées ?

13. Une propriété est vraie au premier rang et l’on montre que sa validité à un rang entraîne sa validité au rang suivant. Que peut-on conclure ?

14. Pour a>0a>0a>0 et n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N, quelle inégalité de Bernoulli est correcte ?

15. Que signifie une divergence d’une suite vers +∞+\infty+∞ ?

16. Pour une suite croissante de limite +∞+\infty+∞, que fait un algorithme de seuil avec un seuil AAA ?

17. Quelle propriété s’applique à la limite d’une suite convergente ?

18. Quel comportement décrit la suite de terme général (−1)n(-1)^n(−1)n lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

19. Quelle suite a pour limite +∞+\infty+∞ lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

20. Dans quelles conditions les théorèmes généraux permettent-ils de déterminer la limite d’un quotient de suites ?

21. Quelle méthode permet généralement de lever une forme indéterminée dans une expression de suites ?

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3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n-3$ pour tout n. Quelle est sa nature et quelle est sa raison ?

5. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et $r=4$ . Quelle est la valeur de $u_5$ ?

8. Une suite géométrique vérifie $u_0=3$ et $q=2$ . Quelle est la valeur de $u_4$ ?

14. Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$ , quelle inégalité de Bernoulli est correcte ?

15. Que signifie une divergence d’une suite vers $+\infty$ ?

16. Pour une suite croissante de limite $+\infty$ , que fait un algorithme de seuil avec un seuil $A$ ?

18. Quel comportement décrit la suite de terme général $(-1)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

19. Quelle suite a pour limite $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?