$$f(x)=3x^2-5x+1$$
Explication
Une fonction du second degré contient un terme en dont le coefficient est non nul. Une expression affine, comme , est du premier degré et ne convient donc pas.
La forme factorisée $$a(x-x_1)(x-x_2)$$
Explication
La forme factorisée fait apparaître les facteurs associés aux racines et . La forme développée expose plutôt les coefficients , et .
La forme canonique $$a(x-\alpha)^2+\beta$$
Explication
La forme canonique permet de lire le sommet et donc la valeur extrémale du trinôme. La forme factorisée rend plutôt les racines et le signe plus visibles.
Identifier $$a$$, $$b$$ et $$c$$, puis calculer le discriminant
Explication
La résolution commence par l’identification de , et , nécessaires au calcul du discriminant. Les racines sont déterminées après l’interprétation du signe de ce discriminant.
$$\Delta=b^2-4ac$$
Explication
Le discriminant se calcule avec la relation . Le signe entre les deux termes est une soustraction, ce qui distingue cette formule des expressions proposées.
L’équation possède une solution réelle double
Explication
Lorsque , les deux solutions réelles coïncident en une racine double. L’absence de solution réelle correspond au cas , tandis que deux solutions distinctes correspondent à .
Elles la divisent en trois intervalles : avant, entre et après les racines
Explication
Deux racines distinctes déterminent trois zones d’étude : avant la première racine, entre les deux racines et après la seconde. Cette séparation sert ensuite à construire le tableau de signes.
Il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles
Explication
Avec , la parabole est tournée vers le haut : le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Le signe s’annule précisément aux deux racines.
Le signe du trinôme ne change pas au passage par la racine
Explication
Une racine double correspond à un contact de la courbe avec l’axe des abscisses sans traversée, donc le signe ne change pas. Le changement de signe caractérise plutôt le passage par une racine simple.
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
Explication
La somme des deux racines est l’opposé du quotient du coefficient de par celui de . Le quotient correspond au produit des racines, et non à leur somme.
$$x_1\times x_2=\frac{c}{a}$$
Explication
Le produit des racines est égal au quotient du terme constant par le coefficient du terme quadratique. La relation concerne leur somme, pas leur produit.
La forme canonique
Explication
La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole et permet d’identifier directement un extremum ou une valeur minimale. La forme développée sert notamment au calcul du discriminant, tandis que la forme factorisée facilite l’étude du signe.
Elle possède deux racines distinctes, $$2$$ et $$3$$.
Explication
Le discriminant vaut , une valeur positive, ce qui donne deux racines réelles distinctes, et . Un discriminant nul conduirait à une racine double, tandis qu’un discriminant négatif signalerait l’absence de racines réelles.
$$g(x)=(x-2)^2+3$$
Explication
On ajoute et on retranche afin d’obtenir , soit . Le signe intérieur doit produire le terme , et le terme constant restant est .
La fonction admet un minimum égal à $$3$$ pour $$x=2$$.
Explication
Comme est positif ou nul, la plus petite valeur de est obtenue lorsque ce carré vaut zéro, c’est-à-dire pour , et elle vaut alors . La parabole est ouverte vers le haut, ce qui exclut l’existence d’un maximum égal à .
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Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré ?
Une fonction de la forme avec .
Quelle est la forme développée d'un trinôme du second degré ?
.
Quelle est la forme factorisée d'un trinôme du second degré ?
.
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