Fiche de révision : Arithmétique et décomposition

📋 Plan du Cours

1. Multiples et rencontres périodiques
2. Diviseurs et PGCD
3. Nombres premiers
4. Décomposition et fractions irréductibles

📖 1. Multiples et rencontres périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Nombre obtenu en le multipliant par un nombre entier.

📝 Points essentiels

• Pour trouver la prochaine rencontre de deux événements périodiques, on liste leurs multiples jusqu’à obtenir le plus petit multiple commun.

• Les bus passant toutes les 8 minutes et toutes les 10 minutes se retrouvent toutes les 40 minutes ; s’ils sont ensemble à 9 h 15, ils se retrouvent à 9 h 55.

💡 Astuce mémo

Lister les multiples → repérer le premier multiple commun → calculer l’heure

📖 2. Diviseurs et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Nombre qui le partage exactement, sans reste.
• PGCD : Le plus grand diviseur commun.

★ À maîtriser

• Le PGCD de 48 et 72 est 24.

Compléments

• Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6, donc PGCD(12,18)=6.

💡 Astuce mémo

Diviseurs communs = possibilités ; PGCD = plus grande possibilité

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Le crible d’Ératosthène consiste à rayer successivement les multiples de 2, de 3, de 5 et de 7 pour repérer les nombres premiers.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 29 présentés dans le cours sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

2, 3, 5, 7 : rayer leurs multiples dans le crible

📖 4. Décomposition et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : L’écrire comme une multiplication de nombres premiers.

★ À maîtriser

• La décomposition de 456 en produit de facteurs premiers est $456=2^3\times3\times19$.

• Le PGCD de 378 et 270 est $2\times3^3=54$, ce qui permet de former au maximum 54 lots composés de 7 billes et de 5 billes.

• Pour rendre une fraction irréductible, on trouve le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce PGCD.

• La fraction $\frac{12}{30}$ devient la fraction irréductible $\frac{2}{5}$ en divisant son numérateur et son dénominateur par 6.

Compléments

• Les décompositions de 378 et 270 sont respectivement $378=2\times3^3\times7$ et $270=2\times3^3\times5$.

• La fraction $\frac{2^3\times3^6\times7}{2^4\times3^4}$ se simplifie en $\frac{63}{2}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer en facteurs premiers → trouver le PGCD → simplifier la fraction

📊 Tableaux de synthèse

Multiples, diviseurs et PGCD