QCM : Arithmétique et divisibilité — 14 questions

Explication

Un diviseur partage exactement un nombre : la division produit un reste nul. Obtenir un quotient supérieur ne définit pas un diviseur, et un diviseur peut être inférieur ou égal au nombre considéré.

Explication

Le reste d’une division euclidienne est inférieur au diviseur, donc ici $r<17$. Un reste égal à 17 pourrait encore être partagé par le diviseur et ne serait donc pas un reste final.

Explication

Pour établir la liste des diviseurs, on teste les nombres qui partagent exactement le nombre étudié, c’est-à-dire avec un reste nul. Un quotient élevé ou une multiplication ne suffit pas à établir qu’un nombre est diviseur.

Explication

Pour la divisibilité par 3, on additionne les chiffres : $4+5+7+2=18$, et 18 est divisible par 3. Le dernier chiffre sert notamment à tester la divisibilité par 2 ou par 5.

Explication

On divise l’effectif total par la capacité d’un autocar, puis on ajoute un autocar dès qu’il reste des personnes. Arrondir vers le bas laisserait ces personnes sans place.

Explication

La divisibilité par 5 exige que le chiffre des unités soit 0 ou 5 ; 925 satisfait cette condition. Le nombre 612, par exemple, n’est pas divisible par 5 malgré son chiffre des dizaines pair.

Explication

Un entier est divisible par 2 lorsque son dernier chiffre est pair. La somme des chiffres intervient plutôt dans le critère de divisibilité par 3, et non dans celui de 2.

Explication

Les nombres 1, 2, 3 et 6 divisent à la fois 18 et 24. Par exemple, 9 divise 18 mais ne divise pas 24, ce qui l’exclut de la liste des diviseurs communs.

Explication

Le retour simultané correspond au premier nombre de tours qui est commun aux rotations de toutes les roues. La moyenne ou la différence des nombres de tours ne garantit pas un retour commun à la position initiale.

Explication

Lorsqu’un nombre est diviseur d’un autre, le second est un multiple du premier : 24 est donc un multiple de 6. Inverser les deux nombres confond les relations de diviseur et de multiple.

Explication

Dans la division de 154 par 12, le quotient donne le nombre de groupes complets et le reste donne les élèves qui restent. Le reste ne correspond donc pas au nombre de groupes formés.

Explication

Les roues reviennent simultanément à leur position initiale lorsque leurs nombres de tours correspondent au premier multiple commun de leurs rotations. Le fait qu’une seule roue effectue un tour complet ne suffit pas à synchroniser les deux roues.

Explication

Un multiple est le résultat du produit d’un nombre par un nombre entier. Une division avec reste positif ne produit pas nécessairement un multiple, car le partage n’est alors pas exact.

Explication

Une division euclidienne s’écrit sous la forme $a=b\times q+r$, avec $a$ comme dividende, $b$ comme diviseur, $q$ comme quotient et $r$ comme reste. L’expression $a=b+r\times q$ place le reste et le diviseur dans des rôles incorrects.