Fiche de révision : Arithmétique et statistiques

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers et crible
4. Décomposition et fractions irréductibles
5. PGCD et PPCM
6. Représentations graphiques
7. Indicateurs statistiques

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : un entier a est un multiple de b, et b est un diviseur de a, lorsque $a=b\times q$, c'est-à-dire lorsque le reste de la division de a par b est nul.

★ À maîtriser

📐 Formule - La division euclidienne de deux entiers positifs a et b, avec b non nul, vérifie $a=b\times q+r$ avec $r<b$, où q est le quotient et r le reste.

Compléments

• Dans l'exemple $135=15\times9$, 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.

• Un entier possède un nombre fini de diviseurs et un nombre infini de multiples ; tout entier supérieur à 1 possède au moins les deux diviseurs 1 et lui-même.

💡 Astuce mémo

Division : quotient et reste ; divisibilité : reste nul

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres appartient à la table de 9, et il est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

💡 Astuce mémo

2-3-5-9-10 : unités ou somme des chiffres

📖 3. Nombres premiers et crible

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : un nombre qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un entier N en éliminant successivement les multiples de 2, puis ceux de 3, puis ceux de 5 et ainsi de suite.

Compléments

📌 Dans le crible d'Ératosthène, on peut s'arrêter lorsque le carré du plus petit entier restant est supérieur au plus grand entier restant, car tous les nombres non premiers ont alors déjà été rayés.

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

💡 Astuce mémo

Rayer les multiples de 2, puis 3, puis 5

📖 4. Décomposition et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : lorsqu'elle ne peut plus être simplifiée, car le seul diviseur commun de son numérateur et de son dénominateur est 1.

★ À maîtriser

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible : décomposer le numérateur en facteurs premiers, décomposer le dénominateur en facteurs premiers, simplifier les facteurs communs

Compléments

• La décomposition de 132 en facteurs premiers est $132=2^2\times3\times11$.

💡 Astuce mémo

Décomposer en facteurs premiers → simplifier les facteurs communs

📖 5. PGCD et PPCM

★ À maîtriser

• Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, on les décompose en facteurs premiers puis on prend tous les facteurs communs dans chaque décomposition.

• 🔄 Pour trouver le plus petit multiple commun : décomposer les deux nombres en facteurs premiers, prendre tous les facteurs présents, retenir la plus grande puissance pour les facteurs communs

Compléments

• Pour 260 et 450, le plus grand diviseur commun est $2\times5=10$.

• Pour 260 et 450, le plus petit multiple commun est $2^2\times5^2\times3^2\times13=11700$.

💡 Astuce mémo

PGCD : facteurs communs ; PPCM : toutes les puissances maximales

📖 6. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : représente les catégories par des barres dont les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.
• Histogramme : regroupe des données en classes et représente les effectifs par des rectangles dont les aires sont proportionnelles aux effectifs.
• Diagramme circulaire : Dans un diagramme circulaire ou semi-circulaire, la mesure de l'angle de chaque secteur est proportionnelle à l'effectif représenté.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une catégorie d'effectif n dans un total N, l'angle du secteur circulaire vérifie $\theta=\frac{n\times360}{N}$.

• Pour les ingrédients totalisant 640 g, les angles sont :
  • 141° pour la farine
  • 56° pour les amandes
  • 39° pour le sucre
  • 124° pour le beurre

💡 Astuce mémo

Barres : hauteurs ; histogramme : aires ; circulaire : angles

📖 7. Indicateurs statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : le quotient de son effectif par l'effectif total.
• Médiane : Après classement croissant des valeurs, la valeur qui divise la série en deux sous-groupes de même effectif.
• Étendue : la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne pondérée d'une série statistique est $\bar m=\frac{\sum(\text{valeur}\times\text{effectif})}{\text{effectif total}}$.

• 🔄 Pour déterminer la médiane : ranger les valeurs dans l'ordre croissant, calculer l'effectif total N, si N est impair, prendre la valeur de rang N/2+0,5, si N est pair, calculer la moyenne des valeurs de rangs N/2 et N/2+1

Compléments

• Pour les VMA données, la moyenne pondérée est $\bar m=\frac{306}{25}=12{,}24$, soit 12,24 km/h.

📐 Formule - L'étendue vérifie $e=\text{valeur maximale}-\text{valeur minimale}$.

📌 Dans un tableur, la moyenne, la médiane et l'étendue peuvent être calculées respectivement avec =MOYENNE(A1;N2), =MEDIANE(A1;N2) et =MAX(A1;N2)-MIN(A1;N2), tandis que =SOMME(A1;N2) calcule la somme.

💡 Astuce mémo

Effectifs et fréquences → moyenne → médiane → étendue

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM