Fiche de révision : Automatismes de calcul littéral

📋 Plan du Cours

1. Calculs avec les fractions
2. Puissances et racines carrées
3. Équations et inéquations
4. Développer et factoriser
5. Ensembles de nombres
6. Écriture et valeurs approchées
7. Intervalles et valeur absolue
8. Divisibilité et nombres premiers

📖 1. Calculs avec les fractions

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sous les conditions de définition, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ et $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule — Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Additionner des fractions demande un dénominateur commun, tandis que multiplier conserve la multiplication des numérateurs et dénominateurs.

📖 2. Puissances et racines carrées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des bases non nulles, $a^n\times b^n=(ab)^n$, $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$, $a^n\times a^p=a^{n+p}$ et $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule — Les puissances vérifient $\left(a^n\right)^p=a^{np}$ et $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$.

📐 Formule — Pour a et b positifs, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

💡 Astuce mémo

Produit de puissances : regrouper les bases, puis additionner les exposants.

📖 3. Équations et inéquations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si a est non nul, l’équation $ax+b=0$ équivaut à $x=-\frac{b}{a}$.

📌 Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $(ax+b)(cx+d)=0$ équivaut à $ax+b=0$ ou $cx+d=0$.

📌 Pour a non nul, $ax+b\ge0$ équivaut à $x\ge-\frac ba$ si a>0 et à $x\le-\frac ba$ si a<0.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens.

📖 4. Développer et factoriser

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📐 Formule — La distributivité s’écrit $a(b+c)=ab+ac$.

💡 Astuce mémo

Développer disperse un facteur ; factoriser le met en évidence.

📖 5. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles de nombres : Les ensembles de nombres emboîtés sont les entiers naturels N, les entiers relatifs Z, les décimaux D, les rationnels Q et les réels R.

📝 Points essentiels

📌 L’inclusion des ensembles de nombres est $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$.

💡 Astuce mémo

Inclusion croissante : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 6. Écriture et valeurs approchées

📝 Points essentiels

📐 Formule — En écriture scientifique, un nombre s’écrit comme un nombre décimal compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10, par exemple $17046{,}32=1{,}704632\times10^4$ et $0{,}0175=1{,}75\times10^{-2}$.

📌 La valeur exacte de a=2/7 est 2/7, tandis que sa valeur approchée à 10^-3 près par défaut est 0,285 et par excès est 0,286.

💡 Astuce mémo

La valeur exacte est celle du nombre ; la valeur approchée dépend de la précision choisie.

📖 7. Intervalles et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes, avec des bornes éventuellement incluses ou exclues.
• Union : L’union A∪B contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, tandis que l’intersection A∩B contient ceux qui appartiennent à A et à B.
• Distance entre deux réels : La distance entre deux réels x et y est la distance sur la droite réelle entre les points d’abscisses x et y, notée d(x;y).

💡 Astuce mémo

L’union rassemble les éléments de A ou B, tandis que l’intersection conserve ceux de A et B.

📖 8. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui possède exactement deux diviseurs distincts.

📝 Points essentiels

📌 Si a² est pair, alors a est pair ; si a² est impair, alors a est impair.

📌 Tout entier naturel au moins égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers, et cette décomposition en facteurs premiers est unique.

💡 Astuce mémo

Pairité du carré, divisibilité, puis décomposition en facteurs premiers.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres