QCM : Automatismes de calcul littéral — 20 questions

Explication

L’addition de fractions repose sur une somme de produits croisés, ce qui donne le numérateur $ad+bc$ et le dénominateur $bd$. La multiplication, elle, associe directement les numérateurs et les dénominateurs, d’où la dernière expression proposée.

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : l’inverse de $\frac{2}{7}$ est $\frac{7}{2}$. La fraction divisée, $\frac{3}{5}$, reste inchangée.

Explication

Lorsque la même base est multipliée, les exposants s’additionnent, ce qui donne $a^{n+p}$. Le produit des exposants intervient dans une puissance de puissance, comme $\left(a^n\right)^p$.

Explication

Une puissance élevée à une autre puissance conserve la base et multiplie les exposants, donc $\left(a^n\right)^p=a^{np}$. L’addition des exposants concerne le produit de deux puissances de même base.

Explication

Pour des nombres positifs, la racine carrée d’un produit se décompose en produit des racines carrées des facteurs. La somme ou le quotient des racines correspondent à d’autres opérations et ne donnent pas la racine de $ab$.

Explication

L’équation de la forme $ax+b=0$ donne $x=-\frac{b}{a}$ ; ici, $x=-\frac{-12}{4}=3$. La valeur $-3$ résulterait d’une erreur de signe lors de l’isolement de l’inconnue.

Explication

Un produit est nul dès qu’au moins un de ses facteurs est nul, ce qui conduit à une alternative entre les deux équations. Il n’est pas nécessaire que les deux facteurs s’annulent ensemble.

Explication

On obtient d’abord $-3x\ge-6$, puis la division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité, d’où $x\le2$. Avec un coefficient directeur positif, le sens aurait été conservé.

Explication

Le carré d’une différence contient le terme central négatif $-2ab$, ce qui donne $a^2-2ab+b^2$. L’expression avec $+2ab$ correspond au carré d’une somme, tandis que $a^2-b^2$ correspond à un produit de conjugués.

Explication

Les deux termes possèdent le facteur commun $6$, donc $6x+6y=6\left(x+y\right)$. L’écriture $6\left(x-y\right)$ changerait le signe du second terme.

Explication

L’ensemble des réels $R$ contient les rationnels $Q$, eux-mêmes composés notamment des décimaux et des entiers. L’ensemble $Q$ est donc plus petit que $R$ dans la chaîne d’emboîtement.

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, puis dans les décimaux, les rationnels et enfin les réels. La relation inverse proposée place les ensembles dans un ordre contraire à leur emboîtement.

Explication

En écriture scientifique, le nombre décimal doit être compris entre $1$ et $10$ et l’exposant doit compenser le déplacement de la virgule. Ainsi, $0,0175=1,75\times10^{-2}$.

Explication

La valeur exacte est $\frac{2}{7}$, qui se situe entre $0,285$ et $0,286$ : la première est l’approximation par défaut et la seconde celle par excès. L’affichage décimal d’une calculatrice ne remplace donc pas la valeur exacte.

Explication

Un intervalle regroupe les réels situés entre deux bornes, chacune pouvant être incluse ou exclue. La nature des bornes distingue notamment les intervalles ouverts, fermés ou semi-ouverts.

Explication

L’intersection $A \cap B$ rassemble les éléments communs aux deux ensembles, ce qui correspond à la condition « et ». La condition « ou » décrit l’union $A \cup B$, et non l’intersection.

Explication

La distance entre les réels $x$ et $y$ est notée $d(x;y)$ et représente l’écart entre leurs points sur la droite réelle. La différence $x-y$ dépend de l’ordre choisi et ne représente donc pas directement une distance.

Explication

Comme $a^2=144$ est pair, la règle de parité des carrés implique que $a$ est pair. Un carré pair ne peut pas provenir du carré d’un entier impair.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts, alors que $1$ n’a que $1$ comme diviseur positif. La propriété selon laquelle tous les entiers divisent le nombre concerne plutôt $0$.

Explication

Tout entier naturel au moins égal à $2$ est premier ou s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près. Elle ne dépend donc pas du chemin suivi pour effectuer les divisions.