Fiche de révision : Axiome de récurrence et suites

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence
2. Preuve d’une formule explicite
3. Démonstration de décroissance
4. Récurrence avec multiplication positive

📖 1. Principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome de récurrence : L’axiome de récurrence affirme qu’une proposition Pₙ vraie au rang initial et héréditaire est vraie pour tout n dans l’ensemble considéré.

📝 Points essentiels

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte trois étapes:
  1. l’initialisation au premier rang
  2. l’hérédité consistant à supposer Pₖ vraie puis à démontrer Pₖ₊₁
  3. la conclusion pour tout n

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Preuve d’une formule explicite

📝 Points essentiels

• L’initialisation de la formule explicite consiste à vérifier au rang n=0 que $U_0=2$ et que $3-2^0=3-1=2$.

📐 Formule — Pour la suite définie par $U_{n+1}=2U_n-3$ et $U_0=2$, la propriété démontrée est $U_n=3-2^n$.

📐 Formule — En supposant $U_k=3-2^k$, la relation de récurrence donne $U_{k+1}=2(3-2^k)-3=3-2^{k+1}$, ce qui établit l’hérédité.

💡 Astuce mémo

P₀ vraie et Pₖ ⇒ Pₖ₊₁, donc Pₙ vraie pour tout n

📖 3. Démonstration de décroissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite décroissante : Suite vérifiant, pour tout rang n considéré, $U_{n+1}\leq U_n$.

★ À maîtriser

• Pour l’hérédité, on suppose $U_{k+1}\leq U_k$, puis la relation de récurrence donne $U_{k+2}=2U_{k+1}-3\leq2U_k-3=U_{k+1}$.

📐 Formule — Pour la suite définie par $U_1=2$ et $U_{n+1}=2U_n-3$, la propriété de décroissance est $P_n: U_{n+1}\leq U_n$ pour n dans $\mathbb{N}^*$.

Compléments

• Au rang initial n=1, on obtient $U_2=2U_1-3=1$ et donc $U_2\leq U_1$ puisque $1\leq2$.

💡 Astuce mémo

Uₙ₊₁ ≤ Uₙ : chaque terme est inférieur ou égal au précédent

📖 4. Récurrence avec multiplication positive

📝 Points essentiels

• La démonstration commence par l’initialisation au rang n=0, puis suppose Pₖ vraie et utilise l’inégalité obtenue pour établir Pₖ₊₁.

📐 Formule — Dans l’étape finale présentée, l’inégalité $U_{k+1}\leq U_k$ est multipliée par $1/3$, ce qui donne $\frac13U_{k+1}\leq\frac13U_k$.

💡 Astuce mémo

Uₖ₊₁ ≤ Uₖ → multiplication par 1/3 → conservation de l’inégalité

📊 Tableaux de synthèse

Étapes de la récurrence