QCM : Axiome de récurrence et suites — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle combinaison d’étapes permet d’établir qu’une proposition PnP_n est vraie pour tout rang considéré par récurrence ?

Calculer plusieurs termes initiaux, identifier une tendance, puis conclure pour tout nn
Vérifier le premier rang, établir le passage de PkP_k à Pk+1P_{k+1}, puis conclure pour tout nn
Vérifier deux rangs consécutifs, calculer le terme général, puis conclure pour tout nn
Supposer Pk+1P_{k+1} vraie, démontrer PkP_k, puis vérifier le premier rang

Vérifier le premier rang, établir le passage de $$P_k$$ à $$P_{k+1}$$, puis conclure pour tout $$n$$

Explication

Une démonstration par récurrence commence par l’initialisation, poursuit avec l’hérédité et se termine par la conclusion générale. Vérifier plusieurs termes ou observer une tendance ne suffit pas à établir la propriété pour tous les rangs.

2. Quel est le rôle précis de l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

Elle remplace la conclusion valable pour tous les rangs considérés
Elle vérifie directement que la proposition est vraie au rang initial
Elle montre que la vérité de PkP_k entraîne celle de Pk+1P_{k+1}
Elle calcule une formule explicite à partir des premiers termes

Elle montre que la vérité de $$P_k$$ entraîne celle de $$P_{k+1}$$

Explication

L’hérédité consiste à supposer PkP_k vraie, puis à démontrer Pk+1P_{k+1}. La vérification directe du premier rang appartient à l’initialisation, et non à l’hérédité.

3. Pour la suite définie par Un+1=2Un−3U_{n+1}=2U_n-3 et U0=2U_0=2, quelle formule explicite la récurrence permet-elle de démontrer ?

Un=3+2nU_n=3+2^n
Un=2n−3U_n=2^n-3
Un=3−2nU_n=3-2^n
Un=2−3nU_n=2-3^n

$$U_n=3-2^n$$

Explication

La formule démontrée pour cette suite est Un=3−2nU_n=3-2^n. Les autres expressions ne respectent pas la relation de récurrence et la valeur initiale données.

4. Lors de l’initialisation de la formule Un=3−2nU_n=3-2^n, quelle vérification faut-il effectuer ?

Vérifier que U1=2U_1=2 et que 3−21=23-2^1=2
Vérifier que U0=2U_0=2 et que 3−20=23-2^0=2
Supposer que Uk=3−2kU_k=3-2^k puis calculer Uk+1U_{k+1}
Comparer directement Uk+1U_{k+1} à UkU_k pour un rang quelconque

Vérifier que $$U_0=2$$ et que $$3-2^0=2$$

Explication

L’initialisation porte sur le rang initial n=0n=0 : on vérifie que la valeur donnée et la formule produisent toutes deux 22. Le passage de kk à k+1k+1 relève de l’hérédité.

5. En supposant Uk=3−2kU_k=3-2^k, quelle égalité établit l’hérédité pour la suite Un+1=2Un−3U_{n+1}=2U_n-3 ?

Uk+2=2(3−2k)−3=3−2k+2U_{k+2}=2(3-2^k)-3=3-2^{k+2}
Uk+1=2(3−2k)−3=3−2k+1U_{k+1}=2(3-2^k)-3=3-2^{k+1}
Uk+1=2(3−2k+1)−3=3−2kU_{k+1}=2(3-2^{k+1})-3=3-2^k
Uk=2(3−2k+1)−3=3−2kU_k=2(3-2^{k+1})-3=3-2^k

$$U_{k+1}=2(3-2^k)-3=3-2^{k+1}$$

Explication

En remplaçant UkU_k par 3−2k3-2^k dans la relation de récurrence, on obtient Uk+1=3−2k+1U_{k+1}=3-2^{k+1}. L’expression Uk=3−2kU_k=3-2^k est l’hypothèse, tandis que la formule au rang suivant est la conclusion de l’hérédité.

6. Quelle condition caractérise une suite décroissante ?

Pour tout rang considéré, Un+1≤UnU_{n+1}\leq U_n
Pour tout rang considéré, Un+1≥UnU_{n+1}\geq U_n
Pour tout rang considéré, Un+1=Un+1U_{n+1}=U_n+1
Pour tout rang considéré, Un+1<0U_{n+1}<0

Pour tout rang considéré, $$U_{n+1}\leq U_n$$

Explication

Une suite décroissante vérifie que chaque terme suivant est inférieur ou égal au terme précédent, soit Un+1≤UnU_{n+1}\leq U_n. La condition inverse caractérise une croissance, tandis que les deux autres conditions ne définissent pas la décroissance.

7. Pour la suite définie par U1=2U_1=2 et Un+1=2Un−3U_{n+1}=2U_n-3, quelle proposition faut-il démontrer pour établir sa décroissance ?

Pn:Un+1≤UnP_n: U_{n+1}\leq U_n pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^*
Pn:Un+1≥UnP_n: U_{n+1}\geq U_n pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^*
Pn:Un=3−2nP_n: U_n=3-2^n pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^*
Pn:Un≤0P_n: U_n\leq0 pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^*

$$P_n: U_{n+1}\leq U_n$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}^*$$

Explication

La décroissance se traduit par une comparaison entre deux termes consécutifs, Un+1≤UnU_{n+1}\leq U_n. La formule explicite concerne la valeur d’un terme en fonction de son rang et ne constitue pas directement la propriété de décroissance.

8. Dans l’étape d’hérédité de la décroissance de cette suite, quelle chaîne d’inégalités est correcte ?

De Uk+1≤UkU_{k+1}\leq U_k, on déduit Uk+2=2Uk+1−3≤2Uk−3=Uk+1U_{k+2}=2U_{k+1}-3\leq2U_k-3=U_{k+1}
De Uk+1≤UkU_{k+1}\leq U_k, on déduit Uk+2=2Uk+1+3≤2Uk+3=Uk+1U_{k+2}=2U_{k+1}+3\leq2U_k+3=U_{k+1}
De Uk+1≥UkU_{k+1}\geq U_k, on déduit Uk+2=2Uk+1−3≤2Uk−3=Uk+1U_{k+2}=2U_{k+1}-3\leq2U_k-3=U_{k+1}
De Uk+1≤UkU_{k+1}\leq U_k, on déduit Uk+2=2Uk−3≤2Uk+1−3=UkU_{k+2}=2U_k-3\leq2U_{k+1}-3=U_k

De $$U_{k+1}\leq U_k$$, on déduit $$U_{k+2}=2U_{k+1}-3\leq2U_k-3=U_{k+1}$$

Explication

La relation donne Uk+2=2Uk+1−3U_{k+2}=2U_{k+1}-3, et l’hypothèse permet d’obtenir 2Uk+1−3≤2Uk−3=Uk+12U_{k+1}-3\leq2U_k-3=U_{k+1}. Les autres chaînes modifient l’ordre des termes, le sens de l’hypothèse ou la relation de récurrence.

9. Que devient l’inégalité Uk+1≤UkU_{k+1}\leq U_k après sa multiplication par 13\frac{1}{3} ?

Elle devient 13Uk+1≥13Uk\frac{1}{3}U_{k+1}\geq\frac{1}{3}U_k
Elle devient 3Uk+1≤3Uk3U_{k+1}\leq 3U_k
Elle devient Uk+1+13≤Uk+13U_{k+1}+\frac{1}{3}\leq U_k+\frac{1}{3}
Elle devient 13Uk+1≤13Uk\frac{1}{3}U_{k+1}\leq\frac{1}{3}U_k

Elle devient $$\frac{1}{3}U_{k+1}\leq\frac{1}{3}U_k$$

Explication

Multiplier une inégalité par 13\frac{1}{3}, qui est positif, conserve le sens de l’ordre et multiplie chacun des deux membres. Une multiplication par un nombre négatif aurait inversé le sens, mais ce n’est pas le cas ici.

10. Dans quel ordre les étapes principales d’une démonstration par récurrence sont-elles réalisées ?

Hérédité vers le rang k+1k+1, initialisation au rang n=0n=0, puis hypothèse au rang kk
Initialisation au rang n=1n=1, hypothèse au rang k+1k+1, puis hérédité vers le rang k+2k+2
Hypothèse au rang k+1k+1, initialisation au rang n=0n=0, puis hérédité vers le rang kk
Initialisation au rang n=0n=0, hypothèse au rang kk, puis hérédité vers le rang k+1k+1

Initialisation au rang $$n=0$$, hypothèse au rang $$k$$, puis hérédité vers le rang $$k+1$$

Explication

La méthode commence par vérifier la propriété au rang initial n=0n=0, puis suppose sa validité au rang kk afin de la démontrer au rang suivant k+1k+1. Confondre l’initialisation avec l’hérédité ferait traiter le rang de départ comme un passage entre deux rangs.

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Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Axiome de récurrence et suites.

Que dit l'axiome de récurrence sur une proposition Pₙ ?

Si Pₙ est vraie au rang initial et héréditaire, elle est vraie pour tout n.

Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout n.

Que consiste l'étape d'hérédité dans une démonstration par récurrence ?

Supposer Pₖ vraie puis démontrer Pₖ₊₁.

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