Fiche de révision : Bases de probabilités discrètes

📋 Plan du Cours

1. Univers et événements
2. Probabilités d’événements
3. Conditionnement et indépendance
4. Variables aléatoires réelles
5. Variables aléatoires discrètes
6. Espérance et dispersion
7. Indépendance des variables
8. Lois discrètes usuelles

📖 1. Univers et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance.
• Univers : Ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, et toute partie de Ω est un événement.
• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils n’ont aucune éventualité commune, ce qui signifie que $A\cap B=\varnothing$.

📝 Points essentiels

📌 Ω est l’événement certain, ∅ est l’événement impossible et un événement élémentaire ne contient qu’une seule éventualité.

💡 Astuce mémo

Ω est certain, ∅ est impossible

📖 2. Probabilités d’événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Sur un univers fini Ω, une probabilité est une application de l’ensemble des parties de Ω vers [0;1] telle que les probabilités d’événements disjoints s’additionnent et que $P(\Omega)=1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📐 Formule — La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule — En situation d’équiprobabilité sur un univers fini, $P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

📖 3. Conditionnement et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si $P(B)\ne0$, la probabilité de A sachant B est définie par $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})=P_B(A)P(B)+P_{\overline{B}}(A)P(\overline{B})$.

💡 Astuce mémo

Conditionner par B → restreindre l’univers à B

📖 4. Variables aléatoires réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle est une application $X:\Omega\to\mathbb{R}$ telle que, pour tout intervalle I de ℝ, l’image réciproque $X^{-1}(I)$ soit un événement.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition de X est l’application définie par $F_X(x)=P(X\le x)$.

📝 Points essentiels

• Une fonction de répartition est croissante, prend ses valeurs dans [0,1], tend vers 0 quand x tend vers −∞ et tend vers 1 quand x tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Une variable aléatoire associe chaque issue à un nombre sur une droite réelle

📖 5. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui prend des valeurs isolées, dont l’ensemble des valeurs est fini ou dénombrable.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable discrète X associe à chaque valeur x_i la probabilité $P(X=x_i)$, et la somme de ces probabilités vaut 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une variable discrète à valeurs entières, $P(X<a)=F_X(a-1)$ et $P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a-1)$.

📖 6. Espérance et dispersion

★ À maîtriser

📐 Formule — L’espérance d’une variable discrète X est $E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)$, sous réserve de convergence si X prend une infinité de valeurs.

📐 Formule — Pour tous réels a et b, $E(aX+b)=aE(X)+b$.

📐 Formule — La variance et l’écart-type sont définis par $V(X)=E([X-E(X)]^2)$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

📐 Formule — La formule de König-Huygens donne $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous réels a et b, $V(aX+b)=a^2V(X)$ et $\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$.

💡 Astuce mémo

L’espérance localise, la variance mesure la dispersion

📖 7. Indépendance des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance mutuelle : Les variables X_1,…,X_n sont mutuellement indépendantes si, pour toutes valeurs possibles x_1,…,x_n, $P([X_1=x_1]\cap\cdots\cap[X_n=x_n])=\prod_{i=1}^nP(X_i=x_i)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux variables X et Y, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$.

📐 Formule — Si X et Y sont indépendantes, alors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.

Compléments

📐 Formule — La covariance de X et Y est définie par $\operatorname{Cov}(X,Y)=E([X-E(X)][Y-E(Y)])$.

💡 Astuce mémo

Indépendance mutuelle ⇒ indépendance deux à deux, mais pas l’inverse

📖 8. Lois discrètes usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si elle prend seulement les valeurs 0 et 1, avec $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$.
• Loi binomiale : Une variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p lorsqu’elle compte les succès obtenus lors de n répétitions indépendantes et identiques d’une expérience ayant une probabilité p de succès.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $X\sim B(p)$, alors $E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$.

📐 Formule — Si $X\sim B(n,p)$, alors, pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

Compléments

📌 Des tirages dans une population de taille N peuvent être assimilés à des tirages avec remise lorsque $N>10n$.

💡 Astuce mémo

Bernoulli : un essai → binomiale : n essais

📊 Tableaux de synthèse

Bernoulli et binomiale