Fiche de révision : Bases de statistique descriptive

📋 Plan du Cours

1. Statistique descriptive et inférentielle
2. Individus et types de variables
3. Distributions statistiques et regroupements
4. Fréquences et cumuls
5. Graphiques statistiques
6. Indicateurs de position
7. Indicateurs de dispersion
8. Variance et échantillons regroupés
9. Étude descriptive de deux variables

📖 1. Statistique descriptive et inférentielle

★ À maîtriser

📌 La statistique descriptive synthétise les données observées dans un échantillon sous forme de tableaux, graphiques, résumés numériques et indicateurs de lien entre variables.

Compléments

• La statistique descriptive est une étape préalable à l’inférence sur la population et à la modélisation.

• La statistique inférentielle, enseignée en L2 MIASHS dans le cours décrit, tire des conclusions sur une population à partir d’un échantillon, notamment à l’aide d’intervalles de confiance et de tests statistiques.

💡 Astuce mémo

Décrire l’échantillon, inférer sur la population

📖 2. Individus et types de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillon : Ensemble des individus observés, constituant un sous-ensemble d’une population plus grande.
• Variable qualitative : Variable prenant des modalités, comme la nationalité ou la profession, et pouvant être nominale ou ordinale selon que ses modalités ont ou non un ordre naturel.
• Variable quantitative discrète : Variable prenant ses valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable et résultant généralement d’un comptage.
• Variable quantitative continue : Variable pouvant prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle de ℝ et être mesurée avec une grande précision.

📝 Points essentiels

• Dans un tableau de données de n individus et k variables, chaque valeur xᵢ correspond à la valeur de la variable pour l’individu i, et n est la taille de l’échantillon.

💡 Astuce mémo

Qualitative : modalités ; quantitative : valeurs mesurables

📖 3. Distributions statistiques et regroupements

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution statistique : Regroupement des modalités aᵢ et de leurs effectifs nᵢ, dont la somme vaut l’effectif total n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une distribution statistique, l’effectif total vérifie $\sum_{i=1}^{p} n_i = n$.

📌 Le regroupement de données continues en classes synthétise les observations mais entraîne une perte d’information sur les valeurs effectivement observées.

Compléments

📌 Pour une variable continue, la distribution empirique peut lister les valeurs observées, tandis qu’un regroupement en classes associe à chaque intervalle un effectif.

📌 Les classes d’une distribution continue forment une partition de l’ensemble des valeurs possibles, avec des intervalles adjacents définis par des bornes ordonnées.

• Le choix des classes d’une variable continue est arbitraire et doit tenir compte du nombre d’observations et de l’amplitude de l’échantillon, sans produire des classes trop petites ou trop grandes.

💡 Astuce mémo

Regrouper en classes → synthétiser, mais perdre des valeurs précises

📖 4. Fréquences et cumuls

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : Proportion de l’échantillon qui correspond à une modalité ou classe, égale à son effectif nᵢ divisé par l’effectif total n.
• Effectif cumulé : Pour des modalités ou classes ordonnées, somme des effectifs jusqu’à la modalité aᵢ, comptant les observations de valeur inférieure ou égale à aᵢ.
• Fréquence cumulée : Pour des modalités ou classes ordonnées, somme des fréquences jusqu’à aᵢ, représentant la proportion des observations de valeur inférieure ou égale à aᵢ.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence d’une modalité ou classe vérifie $f_i = \frac{n_i}{n}$.

Compléments

• Les effectifs et fréquences cumulés n’ont pas de sens pour les variables purement qualitatives.

• La fréquence observée fᵢ estime la fréquence théorique pᵢ d’une modalité ou classe dans la population.

📖 5. Graphiques statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition empirique : Proportion d’observations de l’échantillon inférieures ou égales à x.

★ À maîtriser

• Un diagramme circulaire représente une variable purement qualitative par des secteurs proportionnels aux effectifs des modalités.

• Un diagramme en bâtons représente les modalités d’une variable discrète sur l’axe horizontal et leurs effectifs ou fréquences par des segments verticaux.

• Un histogramme représente une variable continue regroupée en classes par des rectangles dont l’aire est égale ou proportionnelle à l’effectif de la classe.

Compléments

📐 Formule - Dans un diagramme circulaire, l’angle du secteur de la modalité i vérifie $\theta_i = \frac{n_i}{n} \times 360^\circ$.

• Pour des classes d’amplitudes différentes, la hauteur d’un rectangle d’histogramme dépend de l’effectif rapporté à l’amplitude de la classe.

💡 Astuce mémo

Bâtons pour les modalités, histogramme pour les classes

📖 6. Indicateurs de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : Somme des observations divisée par n.
• Médiane : Valeur qui partage l’échantillon ordonné en deux parties égales en nombre d’observations.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne d’un échantillon vérifie $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$.

Compléments

📐 Formule - Pour une distribution discrète, la moyenne pondérée vérifie $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} n_i a_i$.

• Pour une distribution continue regroupée en classes, la moyenne est calculée à partir des centres de classes, pondérés par leurs effectifs.

• Dans un échantillon ordonné de taille paire n = 2k, la médiane est la moyenne des valeurs de rang k et k + 1.

💡 Astuce mémo

Moyenne sensible aux extrêmes, médiane plus résistante

📖 7. Indicateurs de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : Différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série quantitative.
• Quantile : Valeur qω telle que la fréquence cumulée atteigne ω, avec une définition adaptée aux modalités discrètes ou aux données continues regroupées.
• Écart interquartile : Différence entre le troisième quartile Q₃ et le premier quartile Q₁.
• Mode : Modalité de plus grand effectif dans une distribution discrète, ou classe de plus grand effectif pour une variable continue.

★ À maîtriser

• Le premier quartile Q₁ est le quantile d’ordre 0,25, le troisième quartile Q₃ est celui d’ordre 0,75, et la médiane est le quantile d’ordre 0,5.

Compléments

📌 La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, tandis que la médiane y est peu sensible.

💡 Astuce mémo

Étendue sensible aux extrêmes, écart interquartile moins sensible

📖 8. Variance et échantillons regroupés

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : Moyenne des carrés des écarts des observations à la moyenne.
• Écart-type : Racine carrée de la variance, s’exprimant dans la même unité que la variable.

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance d’un échantillon vérifie $s_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$.

📐 Formule - Pour k échantillons regroupés, la variance globale est la moyenne pondérée des variances partielles plus la variance pondérée des moyennes partielles : $s_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i s_i^2 + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2$.

Compléments

📐 Formule - La formule de König s’écrit $s_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bar{x}^{2}$ pour des données brutes.

• Une variance nulle signifie que la variable ne prend qu’une seule valeur dans l’échantillon considéré.

📐 Formule - Si Y = aX, alors la variance vérifie $s_y^2 = a^2s_x^2$ et l’écart-type vérifie $s_y = |a|s_x$.

📐 Formule - Pour k échantillons regroupés de tailles nᵢ et de moyennes x̄ᵢ, la moyenne globale vérifie $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i\bar{x}_i$, avec $n=\sum_{i=1}^{k}n_i$.

💡 Astuce mémo

Écarts à la moyenne au carré → variance ; racine carrée → écart-type

📖 9. Étude descriptive de deux variables

★ À maîtriser

• L’étude descriptive à deux variables examine l’éventuel lien de dépendance entre les deux variables.

Compléments

• Pour deux variables qualitatives, le cours prévoit un tableau de contingence et le calcul de l’indice ω².

• Pour une variable quantitative Y et une variable X qualitative ou quantitative, le cours prévoit le calcul de moyennes et variances conditionnelles ainsi que du rapport de corrélation ε²ᵧ|ₓ.

• Pour deux variables quantitatives, le cours étudie l’éventuel lien linéaire au moyen d’une droite de régression linéaire et du coefficient de corrélation linéaire ϑ(X, Y).