Fiche de révision : Statistique descriptive à deux variables

📋 Plan du Cours

1. Distribution d’un couple de variables
2. Distributions et fréquences conditionnelles
3. Indépendance et variables qualitatives
4. Variabilité conditionnelle et dépendance
5. Corrélation et régression linéaire

📖 1. Distribution d’un couple de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution statistique du couple : Regroupement des couples de modalités (aᵢ, bⱼ) et de leurs effectifs croisés nᵢⱼ, où nᵢⱼ compte les observations ayant aᵢ pour X et bⱼ pour Y.
• Effectif croisé : Nombre d’observations ayant la modalité aᵢ pour X et la modalité bⱼ pour Y.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les effectifs marginaux et les fréquences du tableau croisé vérifient $n_{i\bullet}=\sum_{j=1}^{q}n_{ij},\quad n_{\bullet j}=\sum_{i=1}^{p}n_{ij},\quad f_{ij}=\frac{n_{ij}}{n},\quad f_{i\bullet}=\frac{n_{i\bullet}}{n},\quad f_{\bullet j}=\frac{n_{\bullet j}}{n}.$

Compléments

• Dans le tableau croisant le statut tabagique de la mère et le poids du bébé, l’effectif total est de 189, dont 74 bébés de mères fumeuses et 65 bébés de poids faible.

💡 Astuce mémo

Le tableau croisé place X en lignes et Y en colonnes ; chaque case compte les observations du couple.

📖 2. Distributions et fréquences conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution conditionnelle : Distribution des modalités de Y donnée par la i-ème ligne du tableau de contingence ; celle de X sachant Y = bⱼ est donnée par la j-ème colonne.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les fréquences conditionnelles vérifient $f_{j|x=a_i}=\frac{n_{ij}}{n_{i\bullet}}\quad\text{et}\quad f_{i|y=b_j}=\frac{n_{ij}}{n_{\bullet j}}.$

Compléments

• Le tableau des fréquences lignes rassemble les fréquences conditionnelles de Y pour chaque modalité de X, tandis que le tableau des fréquences colonnes rassemble celles de X pour chaque modalité de Y.

💡 Astuce mémo

Conditionner par X lit une ligne ; conditionner par Y lit une colonne.

📖 3. Indépendance et variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance statistique : Condition dans laquelle, pour toute paire de modalités, la fréquence conjointe est le produit des fréquences marginales, soit $f_{ij}=f_{i\bullet}f_{\bullet j}$, ce qui équivaut à $n_{ij}=\frac{n_{i\bullet}n_{\bullet j}}{n}.$
• Effectif théorique : L’effectif théorique de la case (aᵢ, bⱼ), calculé sous l’hypothèse d’indépendance, est $\hat n_{ij}=\frac{n_{i\bullet}n_{\bullet j}}{n}.$

★ À maîtriser

📐 Formule - L’indice du khi-deux mesure l’écart entre les effectifs observés et théoriques par $\chi^2=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}\frac{(n_{ij}-\hat n_{ij})^2}{\hat n_{ij}}.$

Compléments

• L’indice du khi-deux est proche de zéro lorsque les variables sont indépendantes et augmente lorsque les écarts aux effectifs théoriques s’accentuent ; sa valeur dépend aussi du nombre de modalités et de la taille de l’échantillon.

• Pour un tableau à deux lignes et deux colonnes, le cours indique un seuil d’environ 3,84 pour rejeter l’indépendance ; pour deux lignes et trois colonnes, il indique un seuil d’environ 5,99.

💡 Astuce mémo

L’écart aux effectifs théoriques augmente → l’indice du khi-deux s’éloigne de zéro.

📖 4. Variabilité conditionnelle et dépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne conditionnelle : La moyenne conditionnelle de Y sachant X = aⱼ est la moyenne des valeurs de Y dans le groupe des nⱼ individus ayant la modalité aⱼ pour X : $\bar y_j=\frac{1}{n_j}\sum_{i=1}^{n_j}y_i^j.$
• Variance conditionnelle : La variance conditionnelle de Y sachant X = aⱼ est la moyenne des carrés des écarts des valeurs du groupe à sa moyenne conditionnelle : $s_j^2=\frac{1}{n_j}\sum_{i=1}^{n_j}(y_i^j-\bar y_j)^2.$
• Rapport de corrélation : Le rapport de corrélation de Y sachant X est la part de variance de Y expliquée par X, définie par $\eta_{y|x}^2=\frac{s_{\bar y|x}^2}{s_y^2},$ et comprise entre 0 et 1.
• Écart-type conditionnel : L’écart-type conditionnel de Y sachant X = aⱼ est la racine carrée de sa variance conditionnelle : $s_j=\sqrt{s_j^2}.$

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance totale se décompose en variance des moyennes conditionnelles et moyenne des variances conditionnelles : $s_y^2=s_{\bar y|x}^2+s_{y|x}^2,$ où $s_{y|x}^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}n_js_j^2$ et $s_{\bar y|x}^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}n_j(\bar y_j-\bar y)^2.$

Compléments

📐 Formule - La moyenne globale de Y est la moyenne des moyennes conditionnelles pondérées par les effectifs des groupes : $\bar y=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}n_j\bar y_j.$

💡 Astuce mémo

Variance totale = variance entre les moyennes des groupes + variance moyenne dans les groupes.

📖 5. Corrélation et régression linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : La covariance de X et Y est la moyenne des produits de leurs écarts à leurs moyennes : $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y).$
• Corrélation de Pearson : Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson est la covariance divisée par le produit des écarts-types : $\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{s_xs_y},$ avec $-1\leq\rho(X,Y)\leq1.$

★ À maîtriser

📐 Formule - La pente et l’ordonnée à l’origine de la droite de régression de Y en X obtenue par les moindres carrés sont $\hat a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{s_x^2},\quad \hat b=\bar y-\hat a\bar x,$ et la droite passe par le point moyen (x̄, ȳ).

📌 L’indépendance de X et Y implique une covariance nulle, mais une covariance nulle n’implique pas en général l’indépendance.

• Un coefficient de corrélation positif indique que X et Y varient linéairement dans le même sens, un coefficient négatif qu’ils varient en sens inverse, et un coefficient proche de zéro l’absence de tendance linéaire marquée.

Compléments

• La covariance est symétrique, vérifie $\operatorname{Cov}(X,X)=s_x^2$ et est linéaire par rapport à chacune de ses variables.

💡 Astuce mémo

La covariance dépend des unités ; la corrélation de Pearson est sans unité et bornée entre −1 et 1.

📊 Tableaux de synthèse

Mesures de dépendance