QCM : Booléens et rédaction mathématique — 26 questions

Question 1

1. Qu’est-ce qu’un booléen en mathématiques ?

Une expression qui indique l’appartenance à un ensemble

Une phrase à laquelle on attribue une valeur vraie ou fausse

Une relation qui décrit les coordonnées d’un vecteur

Une variable à laquelle on attribue toujours un nombre réel

Explication

Un booléen est une phrase dont la valeur de vérité est vraie ou fausse. Une variable numérique ou une relation d’appartenance peut intervenir dans une assertion, mais ne définit pas à elle seule un booléen.

Answer

Une phrase à laquelle on attribue une valeur vraie ou fausse

Question 2

2. Quelle relation exprime une comparaison entre deux nombres plutôt qu’une appartenance à un ensemble ?

a \subset E

a \in E

a < b

a \notin E

Explication

La relation $a < b$ compare deux nombres. Les symboles $\in$ , $\notin$ et $\subset$ indiquent respectivement une appartenance ou une inclusion, et non une comparaison numérique.

Answer

La variable ponctuelle est limitée à la portée d’un objet, tandis que la variable introduite par « soit » reste fixée dans la démonstration

Answer

Elle est déclarée dans $$E$$ sans valeur affectée ni particularité supplémentaire

Answer

Dans « Soit $$x=\sqrt{2}$$ », puis dans « Soit $$x\in\mathbb{R}$$ »

Answer

Ses coordonnées ou ses coefficients, en complément de son nom et de son ensemble d’appartenance

Answer

$$x,y\in\mathbb{R}$$ et $$u=(x,y)$$

Answer

: A(x) : x^2-1>0

Answer

Faux, car l’inégalité devient $$0>0$$.

Answer

Lorsque $$A$$ est faux.

Answer

L’assertion $$P(x)$$ est vraie pour chaque élément de $$E$$.

Answer

Un élément de $$E$$ rend $$P(x)$$ vraie.

Answer

Le premier impose un même $$y$$ pour tous les $$x$$, tandis que le second autorise un $$y$$ dépendant de chaque $$x$$.

Answer

$$\exists u\in E,\ \neg A(u)$$

Answer

Trouver un élément de $$E$$ tel que $$A(u)$$ soit fausse

Answer

Ils sont vrais ensemble et faux ensemble

Answer

Déclarer $$u$$ comme élément formel arbitraire de $$E$$, puis démontrer $$A(u)$$

Answer

Exhiber une valeur convenable de $$u$$, éventuellement après une analyse suivie d’une synthèse

Answer

Lorsque l’objet ne dépend pas d’elle parce qu’un symbole la lie

Answer

Elle est muette pour $$A$$ mais parlante pour $$A(x)$$

Answer

Déterminer son domaine de définition

Answer

L’application précise un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée

Answer

Déterminer le domaine, transformer par équivalences, puis retenir les solutions admissibles

Answer

Le paramètre est déclaré avant l’équation et l’inconnue y reste muette

Answer

Parce que la forme des solutions peut changer selon les valeurs du paramètre

Question 3

3. Quelle différence distingue une variable ponctuelle d’une variable déclarée avec « soit » ?

La variable ponctuelle décrit des coordonnées, tandis que la variable introduite par « soit » exprime une relation de comparaison

La variable ponctuelle est limitée à la portée d’un objet, tandis que la variable introduite par « soit » reste fixée dans la démonstration

La variable ponctuelle reçoit une valeur numérique, tandis que la variable introduite par « soit » appartient à un ensemble

La variable ponctuelle est toujours réelle, tandis que la variable introduite par « soit » peut appartenir à plusieurs ensembles

Explication

Une variable ponctuelle n’est utilisable que dans la portée de l’objet qui la déclare, alors qu’une variable introduite par « soit » reste figée pendant la démonstration. La distinction porte donc sur la portée et la persistance, non sur la nature numérique de la variable.

Question 4

4. Que caractérise une variable formelle de $E$ ?

Elle représente les deux coordonnées d’un élément de

E

Elle est déclarée dans

E

sans valeur affectée ni particularité supplémentaire

Elle reçoit une valeur précise choisie avant le début de la démonstration

Elle est utilisable uniquement à l’intérieur d’une intégrale définie

Explication

Une variable formelle de $E$ appartient à cet ensemble sans recevoir de valeur précise ni de particularité supplémentaire. Une variable à laquelle une valeur est attribuée est au contraire une variable affectée.

Question 5

5. Dans quelles situations $x$ est-elle une variable affectée puis une variable formelle, respectivement ?

Dans « Soit

x\in\mathbb{R}

», puis dans « Soit

x=\sqrt{2}

»

Dans « Soit

x,y\in\mathbb{R}

», puis dans « Soit

u=(x,y)

»

Dans « Soit

x=\sqrt{2}

», puis dans « Soit

x\in\mathbb{R}

»

Dans « Soit

u\in\mathbb{R}^2

», puis dans « Soit

x=\sqrt{2}

»

Explication

L’égalité $x=\sqrt{2}$ attribue une valeur à $x$ , tandis que $x\in\mathbb{R}$ indique seulement son ensemble d’appartenance. La seconde déclaration laisse donc $x$ formelle.

Question 6

6. Que décrit l’expansion d’une variable ?

Une valeur numérique qui remplace son ensemble d’appartenance dans la déclaration

Une propriété supplémentaire qui transforme une variable formelle en variable affectée

La portée dans laquelle la variable peut être utilisée pendant une démonstration

Ses coordonnées ou ses coefficients, en complément de son nom et de son ensemble d’appartenance

Explication

L’expansion donne les coordonnées ou les coefficients d’une variable en plus de son nom et de son ensemble d’appartenance. Elle ne constitue pas une particularité supplémentaire et ne fixe pas nécessairement une valeur unique.

Question 7

7. Quelle expansion explicite correctement la déclaration $u\in\mathbb{R}^2$ ?

x,y\in\mathbb{R}

et

u=(x,y)

x,y\in\mathbb{R}

et

u=x+y

x\in\mathbb{R}^2

et

u=(x,y)

u\in\mathbb{R}

et

x=y=u

Explication

Un élément de $\mathbb{R}^2$ est un couple de deux coordonnées réelles, ce qui s’écrit $u=(x,y)$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ . Écrire $u=x+y$ décrit une somme scalaire plutôt qu’un couple.

Question 8

8. Quelle notation permet de déclarer correctement le booléen $A(x)$ associé à l’inégalité $x^2-1>0$ ?

= A(x) : x^2-1>0

: A(x) : x^2-1>0

= A(x) = x^2-1>0

: A : x^2-1>0

Explication

Le symbole « : » sert à déclarer le booléen, et la variable dont dépend sa valeur de vérité doit apparaître dans son nom. Le symbole « = » intervient notamment dans une égalité ou une affectation, ce qui ne correspond pas à cette déclaration.

Question 9

9. Si $x\in\mathbb{R}$ et $A(x):(x-3)(x-12)>0$ , quelle est la valeur de vérité de $A(12)$ ?

Vrai, car le facteur

x-12

s’annule.

Faux, car le facteur

x-3

devient négatif.

Faux, car l’inégalité devient

0>0

.

Vrai, car

12

appartient à

\mathbb{R}

.

Explication

En remplaçant $x$ par $12$ , on obtient $\left(12-3\right)\left(12-12\right)>0$ , soit $0>0$ , qui est faux. Le fait que $12$ soit réel ne suffit pas à rendre l’inégalité vraie.

Question 10

10. Dans quelle situation la négation $\neg A$ d’un booléen $A$ est-elle vraie ?

Lorsque

A

est vrai.

Lorsque

A

est faux.

Lorsque

A

et

\neg A

sont vrais.

Lorsque

A

n’est pas défini.

Explication

Par définition, $\neg A$ est vraie si et seulement si $A$ est fausse. Lorsque $A$ est vraie, sa négation est au contraire fausse.

Question 11

11. Quelle est la négation correcte de l’inégalité $x\leq 4$ ?

x\neq 4

x>4

x<4

x\geq 4

Explication

La négation de $\leq$ est $>$ : les valeurs qui ne vérifient pas $x\leq 4$ sont celles strictement supérieures à $4$ . L’inégalité $x\geq 4$ inclut aussi l’égalité, donc elle ne constitue pas la négation recherchée.

Question 12

12. Que signifie l’énoncé $\forall x\in E,\,P(x)$ ?

L’assertion

P(x)

est vraie pour chaque élément de

E

.

L’assertion

P(x)

est vraie pour au moins un élément de

E

.

L’assertion

P(x)

est vraie pour un élément choisi hors de

E

.

L’assertion

P(x)

est fausse pour chaque élément de

E

.

Explication

Le quantificateur universel $\forall$ exige que l’assertion soit vraie pour toutes les affectations de $x$ dans $E$ . La présence d’un seul élément convenable correspond plutôt à un quantificateur existentiel.

Question 13

13. Quelle condition suffit pour que l’énoncé $\exists x\in E,\,P(x)$ soit vrai ?

Un élément extérieur à

E

rend

P(x)

vraie.

Tous les éléments de

E

rendent

P(x)

vraie.

Un élément de

E

rend

P(x)

vraie.

Aucun élément de

E

ne rend

P(x)

vraie.

Explication

Le quantificateur existentiel $\exists$ affirme qu’au moins une affectation dans $E$ vérifie $P(x)$ . Il n’impose donc pas que l’assertion soit vraie pour l’ensemble des éléments, contrairement à $\forall$ .

Question 14

14. Pourquoi les énoncés $\exists y\in\mathbb{R},\,\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2$ et $\forall x\in\mathbb{R},\,\exists y\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2$ n’ont-ils pas le même sens ?

Le premier impose un même

y

pour tous les

x

, tandis que le second autorise un

y

dépendant de chaque

x

.

Le premier porte sur des valeurs positives de

x

, tandis que le second porte sur des valeurs négatives de

x

.

Le premier exige que l’égalité soit fausse pour certains

x

, tandis que le second exige qu’elle soit vraie pour tous les

y

.

Le premier autorise un

y

différent pour chaque

x

, tandis que le second impose un même

y

pour tous les

x

.

Explication

Dans le premier énoncé, un seul réel $y$ doit convenir simultanément à tous les réels $x$ . Dans le second, le réel $y$ peut être choisi après $x$ et donc varier avec lui, ce qui montre que les quantificateurs ne commutent pas.

Question 15

15. Quelle est la négation correcte de l’énoncé $\forall u\in E,\ A(u)$ ?

\exists u\notin E,\ A(u)

\forall u\in E,\ \neg A(u)

\forall u\notin E,\ \neg A(u)

\exists u\in E,\ \neg A(u)

Explication

Nier un énoncé universel consiste à exhiber un élément de l’ensemble pour lequel la propriété échoue. L’énoncé $\forall u\in E,\ \neg A(u)$ affirme au contraire que la propriété échoue pour chaque élément.

Question 16

16. Pour réfuter l’affirmation $\forall u\in E,\ A(u)$ , quelle démarche convient ?

Trouver un élément extérieur à

E

qui vérifie

A(u)

Établir que certains éléments de

E

vérifient

A(u)

Trouver un élément de

E

tel que

A(u)

soit fausse

Montrer que chaque élément de

E

vérifie

\neg A(u)

Explication

La négation d’un quantificateur universel demande un contre-exemple appartenant à $E$ . Montrer l’échec de la propriété pour tous les éléments serait une affirmation plus forte que la simple réfutation.

Question 17

17. Dans quelle situation deux booléens $A$ et $B$ sont-ils équivalents, ce qui se note $A\Leftrightarrow B$ ?

Ils sont vrais ensemble et faux ensemble

Ils sont vrais dans deux cas distincts

L’un est vrai lorsque l’autre est faux

Ils ont la même expression mais des valeurs différentes

Explication

L’équivalence signifie que les deux booléens prennent toujours la même valeur de vérité. Les rendre vrais ensemble ou faux ensemble caractérise donc $A\Leftrightarrow B$ .

Question 18

18. Pour démontrer $\forall u\in E,\ A(u)$ , quelle méthode faut-il appliquer ?

Exhiber un élément de

E

pour lequel

A(u)

est vraie

Supposer

A(u)

fausse pour un élément de

E

et chercher une contradiction

Choisir une valeur particulière de

u

dans

E

, puis démontrer

A(u)

Déclarer

u

comme élément formel arbitraire de

E

, puis démontrer

A(u)

Explication

Une proposition universelle se démontre en prenant un élément arbitraire de l’ensemble et en établissant la propriété pour cet élément. Choisir une valeur particulière ne permet pas de couvrir tous les éléments de $E$ .

Question 19

19. Quelle stratégie permet de démontrer un énoncé existentiel $\exists u\in E,\ A(u)$ ?

Exhiber une valeur convenable de

u

, éventuellement après une analyse suivie d’une synthèse

Déclarer

u

arbitraire dans

E

et démontrer

A(u)

pour cette variable

Montrer que

A(u)

est fausse pour chaque élément de

E

Remplacer

u

par une variable extérieure à

E

puis vérifier

A(u)

Explication

Pour une existence, il suffit de fournir un élément de $E$ qui satisfait la propriété, directement ou grâce à une analyse suivie d’une synthèse. Une variable arbitraire convient à une preuve universelle, mais ne fournit pas à elle seule un témoin existentiel.

Question 20

20. Quand une variable est-elle dite muette dans un objet mathématique ?

Lorsque l’objet ne dépend pas d’elle parce qu’un symbole la lie

Lorsque la variable reçoit une valeur numérique déterminée

Lorsque la variable n’apparaît jamais dans l’écriture de l’objet

Lorsque la variable intervient sans intégrale, somme ou quantificateur

Explication

Une variable est muette lorsqu’un symbole mutificateur, comme une intégrale, une limite, une somme ou un quantificateur, empêche l’objet de dépendre de son nom. Une variable peut donc apparaître dans l’écriture tout en étant muette.

Question 21

21. Dans l’énoncé $A:\ \forall x\in[-1,1],\ x^2\leq 1$ , quel statut possède $x$ ?

Elle est muette pour

A

mais parlante pour

A(x)

Elle est parlante pour

A

et pour

A(x)

Elle est muette pour

A

et pour

A(x)

Elle est parlante pour

A

mais muette pour

A(x)

Explication

Dans $A$ , le quantificateur lie $x$ , de sorte que l’énoncé ne dépend pas du nom choisi pour cette variable. Dans la formule ouverte $A(x)$ , la variable n’est pas liée et reste donc parlante.

Question 22

22. Après avoir défini une fonction par une formule, quelle étape faut-il effectuer immédiatement ?

Tracer sa courbe dans un repère

Calculer toutes ses valeurs remarquables

Résoudre une équation associée

Déterminer son domaine de définition

Explication

La formule peut imposer des restrictions sur les valeurs admissibles de la variable, notamment à cause d’un dénominateur ou d’une racine. Le tracé de la courbe et la résolution d’une équation associée interviennent après cette vérification.

Question 23

23. Quelle distinction caractérise une application par rapport à une fonction donnée par une formule ?

L’application associe plusieurs images possibles à chaque antécédent

L’application précise un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée

L’application possède un domaine formé de toutes les valeurs réelles

L’application fournit nécessairement une expression algébrique explicite

Explication

Une application est définie avec un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée, alors qu’une formule ne précise pas forcément ces deux ensembles. Une application associe en outre une image déterminée à chaque élément de son ensemble de départ.

Question 24

24. Quelle démarche respecte l’ordre correct pour résoudre une équation contenant des restrictions de définition ?

Établir l’ensemble des solutions, déterminer le domaine, puis effectuer les transformations

Transformer l’équation, déterminer le domaine, puis choisir les valeurs les plus simples

Déterminer le domaine, choisir une solution, puis vérifier les équivalences restantes

Déterminer le domaine, transformer par équivalences, puis retenir les solutions admissibles

Explication

Il faut d’abord connaître les valeurs pour lesquelles l’équation est définie, puis effectuer des transformations équivalentes et exprimer les solutions dans ce domaine. L’ensemble des solutions ne peut pas être établi avant ces transformations.

Question 25

25. Dans une équation à paramètre, comment distinguer le paramètre de l’inconnue ?

Le paramètre est recherché après l’équation et l’inconnue est déclarée avant

Le paramètre est toujours numérique et l’inconnue est toujours une fonction

Le paramètre est déclaré avant l’équation et l’inconnue y reste muette

Le paramètre désigne une solution et l’inconnue fixe le domaine de définition

Explication

Le paramètre est une variable parlante annoncée avant l’équation, tandis que l’inconnue muette est la variable que l’on cherche dans l’équation. La distinction dépend donc du rôle de chaque variable, et non de sa nature numérique.

Question 26

26. Pourquoi la résolution d’une équation à paramètre peut-elle nécessiter une discussion ?

Parce que le domaine de définition doit être découpé en intervalles selon la variable

Parce que la forme des solutions peut changer selon les valeurs du paramètre

Parce que chaque valeur du paramètre impose une nouvelle inconnue muette

Parce que les transformations par équivalences deviennent interdites avec un paramètre

Explication

Certaines valeurs du paramètre peuvent modifier les coefficients ou rendre une étape de résolution impossible, ce qui entraîne des cas distincts. Cette discussion porte sur les valeurs du paramètre et ne correspond pas à un découpage du domaine en intervalles.

QCM : Booléens et rédaction mathématique — 26 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’un booléen en mathématiques ?

2. Quelle relation exprime une comparaison entre deux nombres plutôt qu’une appartenance à un ensemble ?

3. Quelle différence distingue une variable ponctuelle d’une variable déclarée avec « soit » ?

4. Que caractérise une variable formelle de $E$ ?

5. Dans quelles situations $x$ est-elle une variable affectée puis une variable formelle, respectivement ?

6. Que décrit l’expansion d’une variable ?

7. Quelle expansion explicite correctement la déclaration $u\in\mathbb{R}^2$ ?

8. Quelle notation permet de déclarer correctement le booléen $A(x)$ associé à l’inégalité $x^2-1>0$ ?

9. Si $x\in\mathbb{R}$ et $A(x):(x-3)(x-12)>0$ , quelle est la valeur de vérité de $A(12)$ ?

10. Dans quelle situation la négation $\neg A$ d’un booléen $A$ est-elle vraie ?

11. Quelle est la négation correcte de l’inégalité $x\leq 4$ ?

12. Que signifie l’énoncé $\forall x\in E,\,P(x)$ ?

13. Quelle condition suffit pour que l’énoncé $\exists x\in E,\,P(x)$ soit vrai ?

14. Pourquoi les énoncés $\exists y\in\mathbb{R},\,\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2$ et $\forall x\in\mathbb{R},\,\exists y\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2$ n’ont-ils pas le même sens ?

15. Quelle est la négation correcte de l’énoncé $\forall u\in E,\ A(u)$ ?

16. Pour réfuter l’affirmation $\forall u\in E,\ A(u)$ , quelle démarche convient ?

17. Dans quelle situation deux booléens $A$ et $B$ sont-ils équivalents, ce qui se note $A\Leftrightarrow B$ ?

18. Pour démontrer $\forall u\in E,\ A(u)$ , quelle méthode faut-il appliquer ?

19. Quelle stratégie permet de démontrer un énoncé existentiel $\exists u\in E,\ A(u)$ ?

20. Quand une variable est-elle dite muette dans un objet mathématique ?

21. Dans l’énoncé $A:\ \forall x\in[-1,1],\ x^2\leq 1$ , quel statut possède $x$ ?

22. Après avoir défini une fonction par une formule, quelle étape faut-il effectuer immédiatement ?

23. Quelle distinction caractérise une application par rapport à une fonction donnée par une formule ?

24. Quelle démarche respecte l’ordre correct pour résoudre une équation contenant des restrictions de définition ?

25. Dans une équation à paramètre, comment distinguer le paramètre de l’inconnue ?

26. Pourquoi la résolution d’une équation à paramètre peut-elle nécessiter une discussion ?

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QCM : Booléens et rédaction mathématique — 26 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’un booléen en mathématiques ?

2. Quelle relation exprime une comparaison entre deux nombres plutôt qu’une appartenance à un ensemble ?

3. Quelle différence distingue une variable ponctuelle d’une variable déclarée avec « soit » ?

4. Que caractérise une variable formelle de EEE ?

5. Dans quelles situations xxx est-elle une variable affectée puis une variable formelle, respectivement ?

6. Que décrit l’expansion d’une variable ?

7. Quelle expansion explicite correctement la déclaration u∈R2u\in\mathbb{R}^2u∈R2 ?

8. Quelle notation permet de déclarer correctement le booléen A(x)A(x)A(x) associé à l’inégalité x2−1>0x^2-1>0x2−1>0 ?

9. Si x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R et A(x):(x−3)(x−12)>0A(x):(x-3)(x-12)>0A(x):(x−3)(x−12)>0, quelle est la valeur de vérité de A(12)A(12)A(12) ?

10. Dans quelle situation la négation ¬A\neg A¬A d’un booléen AAA est-elle vraie ?

11. Quelle est la négation correcte de l’inégalité x≤4x\leq 4x≤4 ?

12. Que signifie l’énoncé ∀x∈E, P(x)\forall x\in E,\,P(x)∀x∈E,P(x) ?

13. Quelle condition suffit pour que l’énoncé ∃x∈E, P(x)\exists x\in E,\,P(x)∃x∈E,P(x) soit vrai ?

14. Pourquoi les énoncés ∃y∈R, ∀x∈R, x2+x+1=y2\exists y\in\mathbb{R},\,\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2∃y∈R,∀x∈R, x2+x+1=y2 et ∀x∈R, ∃y∈R, x2+x+1=y2\forall x\in\mathbb{R},\,\exists y\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2∀x∈R,∃y∈R, x2+x+1=y2 n’ont-ils pas le même sens ?

15. Quelle est la négation correcte de l’énoncé ∀u∈E, A(u)\forall u\in E,\ A(u)∀u∈E, A(u) ?

16. Pour réfuter l’affirmation ∀u∈E, A(u)\forall u\in E,\ A(u)∀u∈E, A(u), quelle démarche convient ?

17. Dans quelle situation deux booléens AAA et BBB sont-ils équivalents, ce qui se note A⇔BA\Leftrightarrow BA⇔B ?

18. Pour démontrer ∀u∈E, A(u)\forall u\in E,\ A(u)∀u∈E, A(u), quelle méthode faut-il appliquer ?

19. Quelle stratégie permet de démontrer un énoncé existentiel ∃u∈E, A(u)\exists u\in E,\ A(u)∃u∈E, A(u) ?

20. Quand une variable est-elle dite muette dans un objet mathématique ?

21. Dans l’énoncé A: ∀x∈[−1,1], x2≤1A:\ \forall x\in[-1,1],\ x^2\leq 1A: ∀x∈[−1,1], x2≤1, quel statut possède xxx ?

22. Après avoir défini une fonction par une formule, quelle étape faut-il effectuer immédiatement ?

23. Quelle distinction caractérise une application par rapport à une fonction donnée par une formule ?

24. Quelle démarche respecte l’ordre correct pour résoudre une équation contenant des restrictions de définition ?

25. Dans une équation à paramètre, comment distinguer le paramètre de l’inconnue ?

26. Pourquoi la résolution d’une équation à paramètre peut-elle nécessiter une discussion ?

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4. Que caractérise une variable formelle de $E$ ?

5. Dans quelles situations $x$ est-elle une variable affectée puis une variable formelle, respectivement ?

7. Quelle expansion explicite correctement la déclaration $u\in\mathbb{R}^2$ ?

8. Quelle notation permet de déclarer correctement le booléen $A(x)$ associé à l’inégalité $x^2-1>0$ ?

9. Si $x\in\mathbb{R}$ et $A(x):(x-3)(x-12)>0$ , quelle est la valeur de vérité de $A(12)$ ?

10. Dans quelle situation la négation $\neg A$ d’un booléen $A$ est-elle vraie ?

11. Quelle est la négation correcte de l’inégalité $x\leq 4$ ?

12. Que signifie l’énoncé $\forall x\in E,\,P(x)$ ?

13. Quelle condition suffit pour que l’énoncé $\exists x\in E,\,P(x)$ soit vrai ?

14. Pourquoi les énoncés $\exists y\in\mathbb{R},\,\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2$ et $\forall x\in\mathbb{R},\,\exists y\in\mathbb{R},\ x^2+x+1=y^2$ n’ont-ils pas le même sens ?

15. Quelle est la négation correcte de l’énoncé $\forall u\in E,\ A(u)$ ?

16. Pour réfuter l’affirmation $\forall u\in E,\ A(u)$ , quelle démarche convient ?

17. Dans quelle situation deux booléens $A$ et $B$ sont-ils équivalents, ce qui se note $A\Leftrightarrow B$ ?

18. Pour démontrer $\forall u\in E,\ A(u)$ , quelle méthode faut-il appliquer ?

19. Quelle stratégie permet de démontrer un énoncé existentiel $\exists u\in E,\ A(u)$ ?

21. Dans l’énoncé $A:\ \forall x\in[-1,1],\ x^2\leq 1$ , quel statut possède $x$ ?