Fiche de révision : Booléens et rédaction mathématique

📋 Plan du Cours

1. Booléens et assertions usuelles
2. Déclaration des variables
3. Expansion et particularités
4. Déclaration d’un booléen
5. Négation des booléens
6. Quantificateurs universel et existentiel
7. Négation des quantificateurs
8. Méthodes de démonstration
9. Variables muettes et parlantes
10. Fonctions applications et équations
11. Équations à paramètres

📖 1. Booléens et assertions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Booléen : Phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : vrai ou faux.

★ À maîtriser

• Les booléens de comparaison utilisent notamment les relations =, ≠, ≤, ≥, < et >, tandis que les booléens d’appartenance ou d’inclusion utilisent ∈, ∉, ⊂ et ∉.

Compléments

• L’assertion « (1/√2) = √2/2 » est vraie, tandis que l’assertion « π < 0 » est fausse.

💡 Astuce mémo

Assertion vérifiée ≠ affirmation simplement rédigée

📖 2. Déclaration des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable formelle : Variable déclarée dans E sans valeur affectée ni particularité supplémentaire.

📝 Points essentiels

📌 Une variable déclarée ponctuellement, par exemple sous une limite ou dans une intégrale, n’est utilisable que dans la portée de cet objet, tandis qu’une variable déclarée avec « soit » reste figée pendant la démonstration.

📌 Dans « Soit x = √2 », x est une variable affectée, tandis que dans « Soit x ∈ ℝ », x est une variable formelle de ℝ.

💡 Astuce mémo

Ponctuelle = usage bref ; « soit » = variable figée

📖 3. Expansion et particularités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expansion : Description de ses coordonnées ou de ses coefficients en plus de son nom et de son ensemble d’appartenance, sans constituer une particularité supplémentaire.

📝 Points essentiels

• La déclaration « Soit u ∈ ℝ² » peut être développée en « Soit x,y ∈ ℝ et u = (x,y) ».

💡 Astuce mémo

Un tuple déplié fait apparaître chacune de ses coordonnées

📖 4. Déclaration d’un booléen

★ À maîtriser

📌 Pour déclarer un booléen, on utilise « : » et non « = », et toute variable dont dépend sa valeur de vérité figure dans le nom du booléen.

Compléments

• Si x ∈ ℝ et A(x) : (x−3)(x−12)>0, alors A(12) est faux car l’inégalité devient 0>0.

📖 5. Négation des booléens

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Vraie si et seulement si A est faux.

📝 Points essentiels

📌 La négation de l’égalité = est ≠, celle de < est ≥, celle de ∈ est ∉, celle de ≤ est > et celle de ⊂ est ∉.

💡 Astuce mémo

Vrai devient faux, et faux devient vrai

📖 6. Quantificateurs universel et existentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Exprime qu’une assertion est vraie pour toutes les affectations d’un élément dans un ensemble.
• Quantificateur existentiel : Exprime qu’il existe au moins une affectation dans l’ensemble qui rend l’assertion vraie.

★ À maîtriser

📌 Les quantificateurs ∀ et ∃ ne commutent pas : ∃y∈ℝ,∀x∈ℝ, x²+x+1=y² n’a pas le même sens que ∀x∈ℝ,∃y∈ℝ, x²+x+1=y².

Compléments

📐 Formule — Une fonction f est majorée sur I si et seulement si $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ f(x) \leq M$.

💡 Astuce mémo

∀ exige tous ; ∃ se contente d’un seul

📖 7. Négation des quantificateurs

📝 Points essentiels

📌 La négation de « ∀u∈E, A(u) » est « ∃u∈E, ¬A(u) ».

💡 Astuce mémo

¬∀ devient ∃¬ ; ¬∃ devient ∀¬

📖 8. Méthodes de démonstration

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : Deux booléens qui sont simultanément vrais et simultanément faux.

★ À maîtriser

• Pour prouver un booléen universel ∀u∈E,A(u), on déclare u comme variable formelle de E puis on démontre A(u).

• Pour prouver un booléen existentiel ∃u∈E,A(u), on peut affecter directement u à une valeur convenable ou utiliser une analyse suivie d’une synthèse.

Compléments

📌 Pour prouver qu’un booléen est faux, on peut prouver que sa négation est vraie ou supposer le booléen vrai et aboutir à une contradiction.

💡 Astuce mémo

Universel : déclarer ; existentiel : chercher ; faux : nier ou contredire

📖 9. Variables muettes et parlantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable muette : Variable dont l’objet mathématique ne dépend pas à cause d’un symbole mutificateur comme une intégrale, une limite, une somme ou un quantificateur.

★ À maîtriser

📌 Dans A : ∀x∈[-1,1], x²≤1, x est muette pour A mais parlante pour A(x).

Compléments

• Une variable déclarée avec « soit », qu’elle soit affectée ou non, devient parlante pour les objets mathématiques qui l’utilisent jusqu’à la fin de la démonstration.

💡 Astuce mémo

Le mutificateur cache la variable ; « soit » la rend parlante

📖 10. Fonctions applications et équations

★ À maîtriser

📌 Après avoir déclaré une fonction par une formule, il faut déterminer immédiatement son domaine de définition.

📌 Une application précise un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée, tandis qu’une fonction déclarée par une formule ne les indique pas nécessairement explicitement.

• Pour résoudre une équation, on détermine d’abord son domaine de définition, puis on transforme l’équation par équivalences et on donne l’ensemble des solutions dans ce domaine.

Compléments

• Pour f(x)=(x²+12)√x, le domaine de définition est D_f=[0,+∞[.

💡 Astuce mémo

Déclarer l’objet, préciser le domaine, puis résoudre ou discuter

📖 11. Équations à paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation à paramètre : Équation contenant une variable parlante déclarée avant l’équation, appelée paramètre, en plus de son ou ses inconnues muettes.

★ À maîtriser

📌 La résolution d’une équation à paramètre nécessite souvent une discussion selon les valeurs du paramètre.

Compléments

• Dans « Soit m∈ℝ. Soit (E_m):(m−1)x+3=0 d’inconnue x∈ℝ », m est le paramètre parlant et x est l’inconnue muette.

💡 Astuce mémo

Le paramètre parle ; l’inconnue est muette

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables