Fiche de révision : Ensembles et sous-ensembles usuels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres usuels
2. Produits cartésiens et n-uplets
3. Énumérer un ensemble fini
4. Définir par une condition
5. Définir par paramétrage
6. Droites, plans et régions géométriques
7. Images et disques dans le plan
8. Inclusion et égalité des ensembles

📖 1. Ensembles de nombres usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : sont les entiers positifs ou nuls
• Entiers relatifs : sont les entiers positifs, négatifs ou nuls
• Nombres rationnels : sont les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient de deux entiers relatifs
• Nombres complexes : Les nombres complexes, notés C, s’écrivent de façon unique sous la forme $x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.

📝 Points essentiels

• Les ensembles usuels vérifient $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

📖 2. Produits cartésiens et n-uplets

🔑 Notions clés & Définitions

• n-uplet : Un n-uplet est une suite ordonnée de n éléments, notée $(x_1,x_2,\dots,x_n)$.

📝 Points essentiels

• Les couples sont les 2-uplets et les triplets sont les 3-uplets.

• Un couple comme $(\pi,-5)$ appartient à $\mathbb{R}^2$, tandis que $(1-i,12,-7{,}3i)$ appartient à $\mathbb{C}^4$.

📖 3. Énumérer un ensemble fini

🔑 Notions clés & Définitions

• Singleton : Un singleton est un ensemble constitué d’un seul élément.
• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments.

📝 Points essentiels

• L’ensemble $E=\{4;5;-12\}$ a pour cardinal 3.

📖 4. Définir par une condition

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture par condition : L’écriture $\{x\in U\mid P(x)\}$ désigne les éléments de l’ensemble usuel U qui rendent la condition P(x) vraie.

📝 Points essentiels

📌 Le symbole $\in$ indique qu’un objet est un élément d’un ensemble, tandis que le symbole $\subset$ indique qu’un ensemble est une partie d’un autre ensemble.

• L’ensemble $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x-2y=3\}$ contient exactement les couples réels qui vérifient $x-2y=3$.

• Pour tester l’appartenance d’un objet à un ensemble défini par condition, on vérifie si la condition associée est vraie.

💡 Astuce mémo

∈ désigne un élément, ⊂ désigne une partie

📖 5. Définir par paramétrage

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture paramétrique : L’écriture $\{\text{forme};\text{type}\}$ construit un ensemble à partir d’un ou plusieurs paramètres appartenant à un ensemble usuel.

📝 Points essentiels

• L’ensemble $E=\{(x,12x);x\in\mathbb{R}\}$ est constitué des couples construits à partir d’un paramètre réel x.

📐 Formule — L’ensemble $E=\{(x,12x);x\in\mathbb{R}\}$ peut s’écrire $E=\{u\in\mathbb{R}^2\mid\exists x\in\mathbb{R},u=(x,12x)\}$.

• Pour tester si un objet appartient à un ensemble paramétré, on cherche un paramètre qui permet de reconstruire exactement cet objet.

💡 Astuce mémo

Paramètre choisi → objet construit

📖 6. Droites, plans et régions géométriques

📝 Points essentiels

• Si le vecteur directeur $(\alpha,\beta)$ est non nul, l’ensemble $\{(a,b)+x(\alpha,\beta);x\in\mathbb{R}\}$ est la droite du plan passant par $(a,b)$ et dirigée par ce vecteur.

• Si le vecteur directeur $(\alpha,\beta,\gamma)$ est non nul, l’ensemble $\{(a,b,c)+x(\alpha,\beta,\gamma);x\in\mathbb{R}\}$ est une droite de $\mathbb{R}^3$.

• L’ensemble $\{(a,b,c)+x\vec{u}+y\vec{v};x,y\in\mathbb{R}\}$ est un plan de $\mathbb{R}^3$ si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

💡 Astuce mémo

Un paramètre donne une droite, deux paramètres donnent un plan si les directions ne sont pas colinéaires

📖 7. Images et disques dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un intervalle : Pour une fonction f définie sur un intervalle I, l’ensemble $f(I)=\{f(x);x\in I\}$ est l’image de I par f.
• Disque ouvert : L’ensemble $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid(x-a)^2+(y-b)^2<r^2\}$ est le disque ouvert de centre $(a,b)$ et de rayon r.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur l’intervalle I, alors son image f(I) est un intervalle.

📌 L’égalité $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ décrit le cercle, l’inégalité stricte < le disque ouvert et l’inégalité > l’extérieur du disque ouvert.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2$ sur $[-2;3]$, on obtient $f([-2;3])=[0;9]$.

💡 Astuce mémo

f(I) vit dans R, tandis que les courbes et disques décrivent des parties de R²

📖 8. Inclusion et égalité des ensembles

★ À maîtriser

📌 Pour deux parties A et B d’un ensemble E, on a $A\subset B$ si et seulement si $A=\varnothing$ ou si tout élément de A appartient à B.

• Pour démontrer une égalité d’ensembles, on démontre successivement chaque inclusion.

Compléments

• L’ensemble $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x-12y=3\}$ est égal à $\{(3+12y,y);y\in\mathbb{R}\}$.

💡 Astuce mémo

A = B se prouve par A ⊂ B puis B ⊂ A

📊 Tableaux de synthèse

Écritures d’un sous-ensemble