Fiche de révision : Géométrie plane et polygones réguliers

📋 Plan du Cours

1. Polygones réguliers et caractérisation
2. Centre et angles des polygones
3. Résultats classiques des triangles
4. Relations métriques et trigonométrie
5. Applications aux polygones réguliers
6. Aire par décomposition triangulaire

📖 1. Polygones réguliers et caractérisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polygone régulier : Possède des côtés de même longueur et des angles de même mesure.

★ À maîtriser

📌 Un polygone est régulier si tous ses côtés sont de même longueur et si tous ses sommets appartiennent à un même cercle.

Compléments

• Les exemples de polygones réguliers sont:
  • le triangle équilatéral
  • le carré
  • l’hexagone régulier

💡 Astuce mémo

Régulier : côtés égaux et sommets cocycliques ; rectangle : côtés non tous égaux.

📖 2. Centre et angles des polygones

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre du polygone : Dans un polygone régulier, le centre du cercle passant par tous les sommets.
• Angle au centre : Pour deux sommets consécutifs A et B d’un polygone régulier de centre O, l’angle AÔB.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un polygone régulier à n côtés, chaque angle au centre mesure $\frac{360^\circ}{n}$.

Compléments

• Dans un pentagone régulier, chaque angle au centre mesure $\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$.

• Un polygone régulier de centre O peut être construit par rotations successives d’un triangle isocèle de sommet principal O et d’angle $\frac{360^\circ}{n}$.

💡 Astuce mémo

Centre O → angle au centre → rotation de 360°/n.

📖 3. Résultats classiques des triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Une droite qui passe par le milieu de [A ; B].
• Bissectrice : Une droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

📝 Points essentiels

• La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$.

📌 Dans un triangle isocèle, la hauteur et la médiane issues du sommet principal, la bissectrice de l’angle principal et la médiatrice de la base sont des droites confondues.

📐 Formule — L’aire d’un triangle vaut $\frac{\text{base}\times\text{hauteur associée}}{2}$.

📖 4. Relations métriques et trigonométrie

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

📐 Formule — Dans un triangle ABC rectangle en A, on a $\sin(\widehat{ABC})=\frac{AC}{BC}$, $\cos(\widehat{ABC})=\frac{AB}{BC}$ et $\tan(\widehat{ABC})=\frac{AC}{AB}$.

Compléments

📐 Formule — Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne $BC^2=AB^2+AC^2$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

📖 5. Applications aux polygones réguliers

★ À maîtriser

📐 Formule — Le périmètre d’un octogone régulier dont le côté mesure environ 3,83 vaut environ $8\times3{,}83=30{,}61$.

• Pour démontrer qu’un hexagone est régulier, il faut vérifier séparément que ses six côtés sont égaux et que ses six angles sont égaux.

Compléments

📐 Formule — Dans un octogone régulier, chaque angle au centre mesure $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$.

📐 Formule — Pour un octogone régulier de rayon OA=5, la moitié du côté vérifie $IA=5\sin(22{,}5^\circ)\approx1{,}91$, donc $BA\approx3{,}83$.

💡 Astuce mémo

Angle central → triangle isocèle → longueur d’un côté → périmètre.

📖 6. Aire par décomposition triangulaire

★ À maîtriser

• Un hexagone régulier est décomposé en six triangles isocèles identiques ayant pour sommet commun le centre du polygone.

📐 Formule — Pour un triangle équilatéral de côté a, sa hauteur vaut $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ et son aire vaut $\frac{a\times h}{2}$.

Compléments

📐 Formule — Dans l’hexagone régulier étudié, l’angle au centre mesure $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$ et chaque triangle formé avec le centre est équilatéral.

• Pour l’hexagone de côté 525 km, la multiplication de l’aire d’un triangle par six donne une aire totale d’environ 716 094 km².

💡 Astuce mémo

Polygone régulier → triangles isocèles identiques → aire totale par multiplication.

📊 Tableaux de synthèse

Rapports trigonométriques