Fiche de révision : Calcul avec les fractions

📋 Plan du Cours

1. Fractions au même dénominateur
2. Dénominateurs multiples
3. Dénominateurs avec diviseur commun
4. Simplification et opérations associées

📖 1. Fractions au même dénominateur

★ À maîtriser

📌 Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, on additionne ou on soustrait leurs numérateurs en conservant le dénominateur commun.

📐 Formule — Pour deux fractions de même dénominateur, $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$.

Compléments

• L’addition $\frac{11}{5}+\frac{19}{5}$ donne $\frac{30}{5}=6$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur : seuls les numérateurs changent.

📖 2. Dénominateurs multiples

★ À maîtriser

📌 Si l’un des dénominateurs est un multiple de l’autre, le dénominateur commun est le plus grand des deux et l’on multiplie la fraction au plus petit dénominateur en haut et en bas par le facteur nécessaire.

📐 Formule — Si $b=k\times d$, alors $\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\pm c\times k}{b}$.

Compléments

• Pour $\frac{11}{5}+\frac{3}{10}$, on obtient $\frac{22}{10}+\frac{3}{10}=\frac{25}{10}=2{,}5$.

• Pour $\frac{2}{15}\pm\frac{1}{3}$, les résultats sont $-\frac{3}{15}=-\frac{1}{5}$ pour la différence et $\frac{7}{15}$ pour la somme.

💡 Astuce mémo

Le petit dénominateur monte jusqu’au grand en multipliant haut et bas.

📖 3. Dénominateurs avec diviseur commun

★ À maîtriser

📌 Si les deux dénominateurs ont seulement 1 comme diviseur commun, le meilleur dénominateur commun est leur produit ; s’ils ont un diviseur commun différent de 1, le meilleur dénominateur commun est leur PPCM.

📐 Formule — Lorsque 1 est le seul diviseur commun, $\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\times d\pm c\times b}{b\times d}$.

• Pour déterminer le PPCM par tableau, on cherche les multiples du plus grand dénominateur jusqu’à trouver un multiple du plus petit.

Compléments

• Pour $\frac{11}{36}+\frac{7}{27}$, le PGCD de 27 et 36 vaut 9, le PPCM vaut 108 et le calcul donne $\frac{33}{108}+\frac{28}{108}=\frac{61}{108}$.

• Pour $\frac{5}{12}+\frac{7}{18}$, le diviseur commun 6 conduit au PPCM 36 et au résultat $\frac{29}{36}$.

💡 Astuce mémo

Diviseur commun → PPCM → fractions équivalentes → calcul.

📖 4. Simplification et opérations associées

★ À maîtriser

• Pour simplifier une fraction, on teste les critères de divisibilité sur le numérateur et le dénominateur, puis on divise les deux par un diviseur commun.

📌 Il faut toujours simplifier les fractions avant de multiplier deux fractions.

📌 Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Compléments

• Les critères de divisibilité par 2, 5 et 9 permettent, lorsqu’ils s’appliquent simultanément au numérateur et au dénominateur, de simplifier par 90, car $2\times5\times9=90$.

• Le produit $\frac{14}{25}\times\frac{15}{21}$ se simplifie et vaut $\frac{2}{5}$.

• Les écritures fractionnaires dans des expressions comme L ou M comportent des parenthèses sous-entendues qu’il ne faut pas oublier.

💡 Astuce mémo

Simplifier avant de multiplier ; diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Choix du dénominateur commun