Flashcards : Calcul différentiel appliqué — 43 cartes

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1Question

Qu'est-ce que l'accroissement algébrique de la variable ?

Réponse

C'est $\Delta x = x_1 - x_0$ .

2Question

Comment s'exprime l'accroissement algébrique de la fonction ?

Réponse

C'est $\Delta f = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ .

3Question

Comment se calcule le taux d'accroissement de f entre $x_0$ et $x_0 + \Delta x$ ?

Réponse

C'est $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ .

4Question

Quelle est la définition de la dérivée de f en un point x_0 ?

Réponse

C'est la limite $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ si elle existe et est finie.

5Question

Que représente géométriquement la dérivée f'(x_0) ?

Réponse

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point (x_0,f(x_0)).

6Question

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe en x_0 ?

Réponse

$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ .

7Question

Quelle est la notation de Leibniz pour la dérivée première de f ?

Réponse

$f'(x)=\frac{df}{dx}$

8Question

Quelle est la notation de Leibniz pour la dérivée seconde de f ?

Réponse

$f''(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$

9Question

Comment note-t-on une dérivée par rapport au temps en physique ?

Réponse

Avec un point au-dessus de la variable, par exemple $\dot y$ .

10Question

Quelle notation exprime la vitesse verticale $v_y(t)$ en dérivée temporelle ?

Réponse

$v_y(t)=\dot y$

11Question

Quelle notation exprime l'accélération verticale $a_y(t)$ en dérivée temporelle ?

Réponse

$a_y(t)=\ddot y$

12Question

Quelle est la dérivée de la constante C par rapport à x ?

Réponse

La dérivée est 0.

13Question

Quelle est la formule de la dérivée de $x^m$ ?

Réponse

La dérivée est $mx^{m-1}$ .

14Question

Quelle est la dérivée de $\frac{f}{g}$ par rapport à x ?

Réponse

La dérivée est $\frac{f'g - fg'}{g^2}$ .

15Question

Quelle est la règle de dérivation pour un produit de fonctions $fg$ ?

Réponse

La dérivée est $f'g + fg'$ .

16Question

Quelle est la règle de dérivation pour une fonction composée $F(x) = f(u(x))$ ?

Réponse

La dérivée est $F'(x) = f'(u(x)) u'(x)$ .

17Question

Que signifie f'(x)≥0 sur un intervalle pour la fonction f ?

Réponse

f est croissante sur cet intervalle.

18Question

Que signifie f''(x_0)>0 si f'(x_0)=0 ?

Réponse

Cela indique un minimum local en x_0.

19Question

Quelle condition est nécessaire pour un extremum intérieur en x_0 ?

Réponse

La condition f'(x_0)=0 est nécessaire.

20Question

La condition f'(x_0)=0 suffit-elle à déterminer un maximum ou un minimum ?

Réponse

Non, elle ne suffit pas à déterminer le type d'extrémum.

21Question

Quelle est l'approximation affine de $f(x_0+\Delta x)$ ?

Réponse

$f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

22Question

Quelle valeur donne l'approximation affine de $f(x)=x^2$ en $x_0=3$ avec $\Delta x=0,35$ ?

Réponse

L'approximation affine donne environ 11,1.

23Question

Quelle est la valeur exacte de $f(3,35)$ pour $f(x)=x^2$ ?

Réponse

La valeur exacte est 11,2225.

24Question

Quand l'aire est-elle maximale avec $P$ mètres de grillage pour trois côtés d'un rectangle ?

Réponse

Quand la longueur $L$ est le double de la largeur $l$ .

25Question

Quelle relation entre $L$ et $l$ maximise l'aire du rectangle bordant une rivière ?

Réponse

$L = 2l$ maximise l'aire.

26Question

Qu'est-ce que la différentielle de f en un point x_0 ?

Réponse

C'est le nombre $df_{x_0}=f'(x_0)\Delta x$ .

27Question

Comment s'écrit la différentielle de f en notation différentielle ?

Réponse

Elle s'écrit $df=f'(x)dx$ .

28Question

Quelle est l'égalité pour la fonction identité en notation différentielle ?

Réponse

On a $dx=\Delta x$ .

29Question

Que représente géométriquement la différentielle df ?

Réponse

Elle représente la variation de la tangente au point quand x varie de $\Delta x$ .

30Question

Quelles règles suivent les différentielles pour la somme de fonctions ?

Réponse

$d(f+g)=df+dg$

31Question

Quelle est la règle de la différentielle pour le produit de fonctions ?

Réponse

$d(fg)=gdf+fdg$

32Question

Comment s'exprime la différentielle d'un produit par une constante k ?

Réponse

$d(kf)=kdf$

33Question

Quelle formule donne la différentielle du logarithme d'une fonction ?

Réponse

$d(\ln f)=\frac{df}{f}$

34Question

Quelle est la formule du volume d'une sphère de rayon r ?

Réponse

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

35Question

Quelle est la formule de la différentielle du volume d'une sphère ?

Réponse

$dV=4\pi r^2dr$

36Question

Quelle relation donne la variation relative approchée du volume d'une sphère ?

Réponse

$\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}$

37Question

Quelle est l'augmentation approchée du volume si le rayon d'une cellule sphérique augmente de 1 % ?

Réponse

Le volume augmente d'environ 3 %.

38Question

Quelle est la formule de l'écart absolu entre valeur approchée et exacte ?

Réponse

$E_a=\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}$

39Question

Comment se calcule l'écart relatif entre valeur approchée et exacte ?

Réponse

$E_r=\frac{\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}}{\text{valeur exacte}}\times100$

40Question

Quand l'approximation différentielle est-elle valable ?

Réponse

Lorsque la variation relative $\frac{\Delta r}{r}$ est très faible.

41Question

Quelle est la valeur de la variation relative du rayon pour que l'approximation différentielle soit valide ?

Réponse

$\frac{\Delta r}{r} \ll 1$

42Question

Quelle erreur relative est obtenue pour une variation relative du rayon de 1 % ?

Réponse

Une erreur relative de 0,03 %.

43Question

Quelle erreur relative est obtenue pour une variation relative du rayon de 20 % ?

Réponse

Une erreur relative de 12,8 %.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 23 questions sur Calcul différentiel appliqué.

1. Si une variable passe de $x_0$ à $x_1$ , comment exprime-t-on l’accroissement algébrique de la variable et celui de la fonction associée ?

2. Pour calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+\Delta x$ , quelle expression faut-il utiliser ?

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