Flashcards : Ensembles, combinatoire et trigonométrie — 51 cartes

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1Question

Qu'est-ce que la définition par énumération d'un ensemble ?

Réponse

C'est la liste de tous les éléments de l'ensemble.

2Question

Qu'impose la définition par compréhension d'un ensemble ?

Réponse

Une propriété caractéristique distinguant ses éléments.

3Question

Comment s'écrit l'ensemble des entiers naturels par compréhension ?

Réponse

$\mathbb{N}=\{n\in\mathbb{Z}:n\geq 0\}$ .

4Question

Comment s'écrit l'intervalle [0,1] par compréhension ?

Réponse

$[0,1]=\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 1\}$ .

5Question

Que représente le cardinal d'un ensemble fini ?

Réponse

Le nombre d'éléments de cet ensemble.

6Question

Comment note-t-on le cardinal d'un ensemble ?

Réponse

$\operatorname{Card}(E)$ ou $\#(E)$ .

7Question

Que contient l’union de deux ensembles E et F ?

Réponse

Les éléments de E ou de F, y compris ceux communs aux deux.

8Question

Comment se note l’union de deux ensembles E et F ?

Réponse

Elle se note $E\cup F$ .

9Question

Que contient l’intersection de deux ensembles E et F ?

Réponse

Les éléments communs aux deux ensembles.

10Question

Comment se note l’intersection de deux ensembles E et F ?

Réponse

Elle se note $E\cap F$ .

11Question

Que signifie l’inclusion $E\subseteq F$ ?

Réponse

Tout élément de E appartient à F.

12Question

Que désigne l’appartenance $x\in E$ ?

Réponse

Un élément x appartient à l’ensemble E.

13Question

Que contient le complémentaire de F dans E ?

Réponse

Les éléments de E qui n’appartiennent pas à F.

14Question

Comment se note le complémentaire de F dans E ?

Réponse

Il se note $E\setminus F$ ou $F^c$ .

15Question

Qu'est-ce que le produit cartésien de E et F ?

Réponse

L'ensemble des couples $(e,f)$ avec $e\in E$ et $f\in F$ .

16Question

Comment note-t-on le produit cartésien de E et F ?

Réponse

On le note $E\times F$ .

17Question

Quelle formule donne le cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis ?

Réponse

$\operatorname{Card}(E\times F)=\operatorname{Card}(E)\operatorname{Card}(F)$ .

18Question

Quelle formule exprime le cardinal de $E^n$ pour un ensemble fini E ?

Réponse

$\operatorname{Card}(E^n)=\operatorname{Card}(E)^n$ .

19Question

Comment calcule-t-on le cardinal du produit cartésien $E_1\times\cdots\times E_n$ ?

Réponse

$\operatorname{Card}(E_1\times\cdots\times E_n)=\prod_{i=1}^{n}\operatorname{Card}(E_i)$ .

20Question

Quelle formule relie le cardinal de l'union de deux ensembles finis à leurs cardinaux ?

Réponse

$\operatorname{Card}(E\cup F)=\operatorname{Card}(E)+\operatorname{Card}(F)-\operatorname{Card}(E\cap F)$ .

21Question

Que contient l'ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ ?

Réponse

Tous les sous-ensembles de E, y compris l'ensemble vide et E.

22Question

Quelle est la formule pour le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ si E est fini ?

Réponse

$\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E))=2^{\operatorname{Card}(E)}$ .

23Question

Que représente le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?

Réponse

Le nombre de parties de E avec exactement k éléments.

24Question

Quelle est la valeur de $\binom{n}{0}$ ?

Réponse

$\binom{n}{0}=1$ .

25Question

Quelle est la valeur de $\binom{n}{1}$ ?

Réponse

$\binom{n}{1}=n$ .

26Question

Quelle égalité symétrique vérifient les coefficients binomiaux ?

Réponse

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .

27Question

Quelle est la relation de Pascal pour $\binom{n}{k}$ ?

Réponse

$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ pour $n\geq 1$ et $1\leq k\leq n$ .

28Question

Quelle est la formule de Newton pour $(a+b)^n$ ?

Réponse

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ pour tout réel a,b et entier $n\geq 0$ .

29Question

Qu'est-ce que la mesure en radians d'un angle orienté sur le cercle unité ?

Réponse

C'est la longueur de l'arc parcouru depuis U, comptée positivement dans le sens trigonométrique et négativement dans l'autre sens.

30Question

Quelle est la valeur en radians de 45° ?

Réponse

$\frac{\pi}{4}$

31Question

Que signifie la congruence modulo $2\pi$ entre deux réels x et y ?

Réponse

Il existe un entier k tel que $x-y=k\cdot2\pi$ .

32Question

Que garantit la règle sur les représentants dans un intervalle semi-ouvert de longueur $2\pi$ ?

Réponse

Chaque réel possède un unique représentant congru modulo $2\pi$ dans cet intervalle.

33Question

Qu'est-ce que le cosinus d'un angle sur le cercle trigonométrique ?

Réponse

Le cosinus est l'abscisse du point associé.

34Question

Qu'est-ce que le sinus d'un angle sur le cercle trigonométrique ?

Réponse

Le sinus est l'ordonnée du point associé.

35Question

Quelle est l'inégalité qui borne le cosinus pour tout angle x ?

Réponse

$-1\leq\cos(x)\leq1$

36Question

Quelle est l'inégalité qui borne le sinus pour tout angle x ?

Réponse

$-1\leq\sin(x)\leq1$

37Question

Quelle relation fondamentale lie cosinus et sinus pour tout angle x ?

Réponse

$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$

38Question

Quelle est la valeur de $\cos(0)$ ?

Réponse

$\cos(0)=1$

39Question

Quelle est la valeur de $\sin(0)$ ?

Réponse

$\sin(0)=0$

40Question

Quelle est la valeur de $\cos(\pi/4)$ ?

Réponse

$\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}$

41Question

Quelle est la formule de $\sin(2x)$ ?

Réponse

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ .

42Question

Donnez une des expressions de $\cos(2x)$ en fonction de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ .

Réponse

$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ .

43Question

Quelle est la formule de $\cos(x+y)$ ?

Réponse

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ .

44Question

Quelle est la formule de $\sin(x+y)$ ?

Réponse

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$ .

45Question

Quelle est la relation de translation de $\cos(\pi+x)$ ?

Réponse

$\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ .

46Question

Quelle est la relation de translation de $\sin(\pi+x)$ ?

Réponse

$\sin(\pi+x)=-\sin(x)$ .

47Question

Comment trouve-t-on toutes les solutions d'une équation trigonométrique ?

Réponse

On repère les solutions sur un tour du cercle puis on ajoute tous les multiples entiers de $2\pi$ .

48Question

Quelles sont les solutions de $\sin(x)=\frac{1}{2}$ ?

Réponse

$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ .

49Question

Quelles sont les solutions de $\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ?

Réponse

$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ .

50Question

Quelle est la période du sinus et du cosinus ?

Réponse

La période du sinus et du cosinus est $2\pi$ .

51Question

Que permet la périodicité de période $2\pi$ du sinus et du cosinus ?

Réponse

Elle permet d’ajouter $2k\pi$ à toute solution avec $k\in\mathbb{Z}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 24 questions sur Ensembles, combinatoire et trigonométrie.

1. Quelle méthode consiste à définir un ensemble en donnant explicitement la liste de tous ses éléments ?

2. Quelle écriture utilise une propriété caractéristique pour définir un ensemble ?

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