Fiche de révision : Ensembles, combinatoire et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Expression des ensembles
2. Opérations entre ensembles
3. Cardinaux et produits cartésiens
4. Parties et coefficients binomiaux
5. Mesure des angles
6. Sinus cosinus et congruence
7. Formules trigonométriques
8. Équations trigonométriques

📖 1. Expression des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition par énumération : Consiste à donner la liste de tous les éléments d’un ensemble.
• Définition par compréhension : Décrit un ensemble à l’aide d’une propriété caractéristique qui distingue ses éléments parmi ceux de même nature.
• Cardinal d’un ensemble : Nombre d’éléments d’un ensemble fini, noté $\operatorname{Card}(E)$ ou $\#(E)$.

📝 Points essentiels

• Les ensembles peuvent s’écrire sous forme de compréhension, par exemple $\mathbb{N}=\{n\in\mathbb{Z}:n\geq 0\}$ et $[0{,}1]=\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 1\}$.

💡 Astuce mémo

Énumération = lister ; compréhension = caractériser

📖 2. Opérations entre ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : Contient les éléments de E ou de F, y compris ceux qui appartiennent aux deux, et se note $E\cup F$.
• Intersection : Contient les éléments communs aux deux ensembles et se note $E\cap F$.
• Ensemble complémentaire : Si F est une partie de E, contient les éléments de E qui n’appartiennent pas à F.

📝 Points essentiels

📌 L’inclusion $E\subseteq F$ signifie que tout élément de E appartient à F, tandis que l’appartenance $x\in E$ concerne un élément et un ensemble.

💡 Astuce mémo

Union = ou ; intersection = et

📖 3. Cardinaux et produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples $(e,f)$ tels que $e\in E$ et $f\in F$, noté $E\times F$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des ensembles finis E et F, le cardinal du produit cartésien vérifie $\operatorname{Card}(E\times F)=\operatorname{Card}(E)\operatorname{Card}(F)$.

📐 Formule — Pour deux ensembles finis, $\operatorname{Card}(E\cup F)=\operatorname{Card}(E)+\operatorname{Card}(F)-\operatorname{Card}(E\cap F)$.

Compléments

📐 Formule — Pour des ensembles finis, $\operatorname{Card}(E^n)=\operatorname{Card}(E)^n$ et $\operatorname{Card}(E_1\times\cdots\times E_n)=\prod_{i=1}^{n}\operatorname{Card}(E_i)$.

💡 Astuce mémo

Produit cartésien → multiplication des cardinaux

📖 4. Parties et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : Contient tous les sous-ensembles de E, notamment l’ensemble vide et E lui-même.
• Coefficient binomial : Nombre de parties de E ayant exactement k éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout ensemble fini E, $\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E))=2^{\operatorname{Card}(E)}$.

📐 Formule — La relation de Pascal est $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ pour $n\geq 1$ et $1\leq k\leq n$.

📐 Formule — Pour $0\leq k\leq n$, $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, avec $0!=1$.

📐 Formule — La formule de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$ pour tous réels a et b et tout entier $n\geq 0$.

Compléments

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{1}=n$ et $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

💡 Astuce mémo

Bords du triangle de Pascal → relation de Pascal → formule explicite

📖 5. Mesure des angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle orienté : Mesure en radians égale à la longueur de l’arc parcouru depuis U, comptée positivement dans le sens trigonométrique et négativement dans l’autre sens.
• Congruence modulo 2π : Deux réels x et y sont congrus modulo $2\pi$ s’il existe un entier k tel que $x-y=k\cdot2\pi$.

★ À maîtriser

• Les correspondances fondamentales sont $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $180^\circ=\pi$ et $360^\circ=2\pi$.

Compléments

📌 Dans tout intervalle semi-ouvert de longueur $2\pi$, chaque réel possède un unique représentant congru à ce réel modulo $2\pi$.

💡 Astuce mémo

Un point parcourt le cercle unité depuis U, dans le sens direct ou inverse

📖 6. Sinus cosinus et congruence

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus et sinus : Sur le cercle trigonométrique, l’abscisse du point associé pour le cosinus et son ordonnée pour le sinus.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout angle x, $-1\leq\cos(x)\leq1$, $-1\leq\sin(x)\leq1$ et $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

• Les valeurs particulières sont $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$, $\cos(\pi/2)=0$ et $\sin(\pi/2)=1$.

Compléments

• On a $\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin(\pi/6)=\frac12$.

💡 Astuce mémo

Cosinus = abscisse ; sinus = ordonnée

📖 7. Formules trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules du double angle sont $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=1-2\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1$ et $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.

📐 Formule — Les formules de la somme sont $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ et $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$.

Compléments

📐 Formule — Les relations de translation par π sont $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$.

💡 Astuce mémo

Double angle → somme des angles

📖 8. Équations trigonométriques

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation trigonométrique, on repère les solutions sur un tour du cercle, puis on ajoute tous les multiples entiers de $2\pi$ grâce à la périodicité.

• Les solutions de $\sin(x)=\frac12$ sont $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, avec $k\in\mathbb{Z}$.

• Les solutions de $\cos(x)=\frac{\sqrt2}{2}$ sont $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$, avec $k\in\mathbb{Z}$.

📌 Le sinus et le cosinus sont périodiques de période $2\pi$, ce qui permet d’ajouter $2k\pi$ à toute solution, avec $k\in\mathbb{Z}$.

💡 Astuce mémo

Deux solutions sur un tour → ajout de k·2π

📊 Tableaux de synthèse

Opérations et dénombrement des ensembles